ベクトルの問題です！

数学

高校生

解決済み

約4年前

ベクトルの問題です！
(1)なんですけど、なんで、直接ADベクトルを出さなくても、点Dが線分BCを内分するって証明できるのかがわからないです、、、
よろしくお願いします！

空間の3点A,B, Cは同一直線上にはないものとし, 原点をOとする。空間の点Pの位置べ EX 41 されているとする。 (1) 直線APと直線 BCは交わり, その交点をDとすれば、 D は BC を2:yに内分し、 p ADを(1-x):xrに内分することを示せ。 S」_ S』 (2) APAB, APBCの面積をそれぞれ Si, Saとすれば、ーが成り立つことを示せ、 (大阪府大 HINT(1) 分点の位置ベクトルの形が現れるように, 変形する。例えば、 yOB+2OC る+y JOB+20C=(v+z). 2OB+20C などと変形する。 (1) OP=xOA+yOB+20C yOB+zOC 2+y =xOA+(y+z). OD=JOB+2O¢ 2+y とすると、y, z は正の実数であるから、点 Dは線分 BC を z:yに内分する点である。

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回答

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暇つぶし

約4年前

解答解説のように定めたDがBCを内分することはわかるけど、
APとの交点がBCを内分することはわからないんじゃないかということですかね。
解答解説のように定めたDがAPとBCの交点であることは解答解説の後に続いて書いてないのでしょうか？
証明しなければならない事柄のように思えます。
(高校卒業してから相当経つので変なこと言ってたらすみません)

もし解答に載ってなかったらですが、
DがAPとBCの交点であることは
以下のようにしてわかります。
AP=OP-OA
=xOA+(y+z)OD-OA
=-(1-x)OA+(y+z)OD
=-(y+z)OA+(y+z)OD
=(y+z)(OD-OA)
=(y+z)AD
ここで、
0≤y+z≤1
より、Dは線分AP上にあります。
さらにDはBCを内分するのでBC上にあります。
したがって、APとBCは交わります。

暇つぶし約4年前

> Dは線分AP上にあります。
逆でした。Pは線分AD上にあります。

すみません、私が上に書いたことは解答の流れからは多分ちょっとずれていて、
全体としては以下のような流れなんだと思います。

1. とりあえず解答解説にある通りとりあえずDと名付けてみると線分BCを内分している。（この時点でDが直線APと直線BCの交点かどうかは不明）
2. そのように定めたDについて、Pは線分ADを内分している。
3. Dは1より直線BC上にあり、2より直線AP上にあるので2直線の交点はDである。

したがって、写真に載っている解答の範囲ですと、2直線の交点が問題文にあるような性質のDかどうかはまだ不明です。

すん約4年前

>> 解答解説のように定めたDがAPとBCの交点であることは解答解説の後に続いて書いてないのでしょうか？
続きに写真のような解説がありましたが、これの事でしょうか？

>>写真に載っている解答の範囲ですと、2直線の交点が問題文にあるような性質のDかどうかはまだ不明です。
それではやはり、この写真の回答含めて全部で、直線APとBCの交点がz:yに内分するということを示しきれるということでしょうか？

暇つぶし約4年前

そうですー

すん約4年前

なるほど、、、！
ありがとうございますm(__)m

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回答

さい先生

約4年前

2つのベクトルの和がy/(y+z)+z/(y+z)=1で、yもzも正の実数なので0<y(y+z)<1を満たします。
したがって、内分することがわかります。

すん約4年前

すいません、質問の仕方が悪かったです...
恐らく、さい先生は”ODベクトルが線分BCをz：yに内分する理由”を答えていただいていると思います(間違っていたらごめんなさい💦）

僕が質問したいことを紙に書いたので、もしお時間ありましたらご覧いただけると幸いです。

さい先生約4年前

「含まれている」という表現が、いまひとつわかりませんが、
もし、実数倍という意味で言われているのであれば違います。
空間と書いてありますが、直線が交わる条件のもとでの問題なので、平面図で考えてみると良いでしょう。
ということで、図を書いてみると添付のようなものになります。
図の位置関係からみると、解答に書いてあることは至極当然と思えるようになると思います。

すん約4年前

すいません、またわかりにくい表現してしまいました...
でも、さい先生と他の方の回答のおかげで、もうほとんど解決したように思えます！
さい先生が仰っているのは、下記の写真と同じような解説でしょうか？
僕的には、「BCを内分する点をDとすると、点PはADを(y+z):x、つまり(1-x):xに内分する位置にあるから、点Pは線分AD上にある。ゆえに、直線APは線分BC上の点Dで交わる」という解釈をしたのですが、これで正解でしょうか？

さい先生約4年前

私が書いた図はまさに解答の図のADとBCだけを取り出したものになります。
ただ、すんさんが、おっしゃっている僕的には〜の一文に違和感を覚えます。

この問題は、「直線APと直線BCが交わり、その交点をDとする」というのが前提です。
ですから、内分することを言わなくても、点PはAD上にあるし、直線APは直線BCと点Dで交わります。
逆にこの前提とx+y+z=1という条件から、y:zに内分すること、(1-x):xに内分することを示していかなければならない問題になっています。
解答もこの順番で示してあります。

求められていることと、また違っていたらごめんなさい。

暇つぶし約4年前

> さい先生さま
横入すみません．
問題文の書き方が悪いと思ってまして，私は以下の3つを証明しろ，という風に読みました．
1. 直線APと直線BCが交点をもつこと
2. その交点はBCをz:yに内分すること
3. Aとその交点を結ぶ線分はPによって(1-x):xに内分されること
解答の順番は
a. BCをz:yに内分する点を見つけました．
b. Aとaの点を結ぶ線分はPによって(1-x):xに内分されました．
c. a，bから直線APと直線BCがaで見つけた点で交わることがわかりました．
d. aで見つけた点がDであることが判明しました．
となっていると解釈しました．

> 「直線APと直線BCが交わり、その交点をDとする」というのが前提
とのことですが，この縛りを設けなかったとしても
問題設定から自然に交わることが導き出せるので
敢えて前提にする必要性がないのも
「私は以下の3つを証明しろ，という風に読」んだ理由です．