Question

豆腐

数Aです。春から高校生ということで、学校から出された予習課題です。

内角の二等分線の範囲の問題なのですが、詳しい解説がついておらずわからないので教えてほしいです。

A
△ABCの辺BCの中点をMとし,ZAMB,
ZAMC の二等分線が辺 AB, AC と交わる点を,
それぞれ D, Eとする。このとき, DE/BC で
|p.73~74
D
E
あることを証明せよ。
o/×
O
B
M
C

数a 内角の二等分線

Answer 1

✨ ベストアンサー ✨

lv0043

まず、△ ABMに着目します。
Bを通り、DMと平行な直線を引き、AMの延長線上の交点をFとします。
DM/BFなので、∠ MFB = ∠ AMD (同位角)、また ∠ DMB = ∠ MBF (錯角)。
つまり、∠ MFB = ∠ MBF なので、△ MBFは MB=MFである二等辺三角形です。
よって、AD:DB = AM:MF = AM:MB です -----(1)

同様に、△ ACMに着目します。
Cを通り、EMと平行な直線を引き、AMの延長線上の交点をGとします。
※ 実際のところ、点Fと点Gは一致するはずですが、あえてFではなくGとしておきます。

EM/CGなので、∠ AME = ∠ MGC (同位角)、また ∠ EMC = ∠ MCG (錯角)。
つまり、∠ MGC = ∠ MCG なので、△ MCGは MC=MGである二等辺三角形です。
よって、AE:EC = AM:MG = AM:MC です
MはBCの中点なので MB=MCですから、AE:EC = AM:MC = AM:MB です ---(2)
(1)(2)より、 AD:DB = AM:MB = AE:EC です。
DEはABとACを同じ AM:MB の比率で区切る直線（線分）なので、DE//BCと言えます。

lv0043

誤記がありました。訂正します。
誤: DM/BFなので
正: DM//BFなので

誤: EM/CGなので
正: EM//CGなので

lv0043

図を付けておきます

豆腐

教えてくださりありがとうございます。説明(証明)がとても丁寧だったため、私でも理解することができました！

lv0043

ちなみに、「△ MCGは MC=MGである二等辺三角形です。」の時点で、FとGが同一の点と言えることになります。
なぜなら、FもGもAMの延長線上の点であり、MF=MGとなるので一致するとわかります。