Question

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なぜf(x)は、(x-1)で割り切れるといえるのか解説を読んでもよくわかりません🙇‍♀️
また、なぜf(x)＝x³−ax+a-1といえるのか教えていただきたいです。

(1) f(x)=x°-ax+b が(x-1)で割り切れるとき, 定数a, bの値を求
OOO00
重要例題 58 剰余の定理の利用(3)
めよ。
【学習院大)
基本 54
を求めよ。
C
HART
lOLUTION
割り算の問題 基本公式 A=BQ+R を利用
次数に注目 2 余りには剰余の定理」
(1)(x-1)? で割り切れる → f(x)3 (x-1)Q
→(x) がx-1で割り切れ, 更にその商がx-1で割り切れる。 1)
(2) 次の恒等式を利用する。ただし, nは自然数とし, α'=1, 6°=1 である。
1
解答
(1)F(x)は xー1 で割り切れるから
f(1)=0
a-1 1
-a+1
10
ーa
よって
1-a+b=0 S
ゆえに
b=a-1
0
1
したがって
f(x)=x°-ax+a-1
11-a+1
0
=(x-1)(x°+x+1-a)
g(1)=0
g(x)=x°+x+1-a とすると
ゆえに
*条件から, g(x) もx-1
で割り切れる。
よって
3-a=0
a=3
これをOに代入して
b=2

数学 数ⅱ

Answer 1

✨ ベストアンサー ✨

塾講師たつぽん(勉強中)

まず、なぜf(x)が(x-1)で割り切れるかについてお答えしますね。
一言で言うと問題文の条件に「f(x)は(x-1)²で割り切れるとき」と書いてあるからです。
(x-1)²=(x-1)(x-1)なので、「(x-1)²で割り切れる」ということは「(x-1)で2回割っても割り切れる」ということなのです。ですから、(x-1)で1回割っても、もちろん割り切れます。

次にf(x)=x³-ax+a-1となる理由ですが、解説を一緒に読み進めていきましょう。
f(x)が(x-1)で割り切れるということはx=1を解に持つということですから、f(1)=0になります。
f(x)に1を代入してみると、
f(1)=1-a+b=0
これをbについて解くと
b=a-1
ちなみにbについて解いた理由は、f(x)=x³-ax+bのa,bのうち片方を消去するためです。
a、bなどの２つの文字が与えられているときは片方を消去できないか考えてみると良いでしょう。この手段は数学ではよく使います。
ではb=a-1をf(x)に代入してみます。
f(x)=x³-ax+a-1
となりご質問の式が出てきます。

解説は以上です。
もしわからない点やおかしな点があれば遠慮なく聞いてください！
勉強頑張って下さい。応援してます✨

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理解できました！！ご丁寧に説明していただきありがとうございます😭🙏