Question

ℎ

青チャートのII Bの等差数列の質問です。何で下段青線の赤マークの所は上段の様に(p^3-1)pじゃないんですか？どこから二乗の式が出てきたんですか？

練習
pを素数とするとき,0とかの間にあって,がを分母とする既約分数の総和を求めよ。
92
そ「0とかの間」である
から,両端の0とかは含
まない。
まず,qを自然数として,0<くかを満たすを求める。
が
0<qくがであるから
g=1, 2, 3,
1
2
3
9
が か
そ初項,公差
よって
か か
これらの和を S.とすると
1
等差数列。
1
Si=
が、
(がー1)-
が
そラMa+)
2
ののうち,
が既約分数とならないものは
(がー1)か
2p 3p
が が' が
これらの和を S2とすると
9
そ初項,公差一の
2
が
等差数列。
(が-1)p
が
1
S=(がー1)。
ニ
2
ゆえに,求める総和をSとすると, S=S,-S2であるから
S=(ゲー1)p-(ー1)
-がゲー)-(ー1)-が-)
2
*かがー)

Answer 1

✨ ベストアンサー ✨

LUX SIT

既約分数ではない. これは分母と分子に共通な約数を持つということです[同時に割り切れる.].
分母が素数pの3乗なので, 少なくとも分子もpを約数に持つはずです[pが素数であることが非常に効いています].
そこで分子がp^3-1以下の数を順に列挙していくわけですが
p, 2p, 3p,という部分はかのんさんは理解しているわけですね.
p^3-1というのは(p^2-1)p<p^3-1<p^3=p^2・p[直近だとこれが分かりやすいでしょうか?]と評価できるのでp^2-1が最大になるわけです.
[1, 2, 3,…,p^2-1,p^2という連続していくわけですよね. ここがポイントです.]
***
[注]
pが素数[は2以上]ならば(p^3-1)p>p^3が成り立ちます.
(p^3-1)p-p^3=p(p^3-p^2-1)=p(p^2(p-1)-1)
p>2なのでp-1>1, p^2(p-1)>4だからp^2(p-1)-1>0と大雑把に評価するといいでしょう.

ℎ

めっちゃ分かりやすいです🥲💞わざわざ丁寧にありがとうございました‼️