Question

ほのか

二項定理の分野です。
(2)の答えの出し方が分かりません。どこがどう打ち消し合うのでしょうか？

例題6
二項係数の性質
(1+x)" の展開式を利用して, 次の等式を証明せよ。
(1) » Co-» Ci +» C2-+(-1)"-1, Cn-1 + (-1)", C» =D 0
C」
C2
(2) Co-
2
+ (-1)"-1 » Cn-1
27-1
+(-1) a C
2"
22
2"
Action》 二項係数の和は, (1+x)" の展開式を利用せよ
二項定理により
(1+x)" = »Co· 1"+,Ca·1"-1.x+»C。·1"-2.g°+…+Cm-1·1·x"-1+»C»"ズ"
すなわち
»Co+Cix+»C2x+ … +»Cn-1x"-1+» Cmx" = (1+x)" ①
逆向きに考える
証明する式は,① の左辺のxに何を代入したものか?
解二項定理を用いて, (1+x)” を展開すると
(1+x)” = » Co+»Cix+»C2x°+…
例題
(1+x)" の展開式の一般
項は,C,x" である。
+,Cn-1x"-1 + »Cnx"
①はどのようなxの値
についても成り立つ。
rが偶数のとき
(-1) = 1
rが奇数のとき
(-1)= -1
(1) の に x=-1 を代入すると
(1-1)” = » Co+»C(-1) +»C2(一1)°+ …
+,Cn-1(-1)-1 +» C»(-1)*
よって
Co-C;+» C2-.+(1)"-1,Cォ-1 +(-1)*,Cn =0
(2) 0に x=ー
を代入すると
2
n
2
1
:Cal
2
n
n-1
+,Cnー1
n
よって
Co
2
C」C。
2°
+(-1)"-1 n Cn-1
27-1
2"
2*
Point 二項係数の性質
例題6では,(1+x)” の展開式を用いたが, (x+1)" の展開式
(x+1)" = » Cox" +»Cix"-1 +»Cax*ー2 + …+» Cn-1X+»C» を用いると
(1), Co(-1)"+ »C, (-1)*-1 +» Ca(-1)*-2 + · , Cnー1 +» Cn =0
» Co
+(-1)-2_ C2
24-2
Ca1+,Ca =
1
+(-1)カ-1 nC
++ C» =
2
2"
27-1
2"
か待られる。このときには, 各項に ,C, = » Cォーr を用いることで証明する式を得る。
思考のプロセス|

Answer 1

✨ ベストアンサー ✨

unknown

①の左辺ってことでしょ

ほのか

①の左辺をどのように使えば1/2^nが得られるのですか？

ほのか

もちろん①も使いますが、1/2^nという解答は1/2^nの1行上の式から導き出したように思えたのですが、、

unknown

一行上の式から左辺と右辺を入れ換えただけだと思います。

ほのか

なるほどTT♡理解しました！ありがとうございます！！！