Question

*キナコ*

二次関数の分野ですが考え方がよく分かりません

24 直角二等辺三角形 ABC において, AC=BC=10 m, ZC=90°とする。ま
た,点Pは辺 AB上をAからBまで, 点Qは辺 BC上をBからCまでそれぞれ一
定の速さで移動する。 P, Qは, 同時に動き始めて, 10秒後にそれぞれ B, Cに
同時に到着する。
(1) ZBPQが90° になるのは, 動き始めてから何秒後か求めよ。
(2) PとQが最も近づくのは, 動き始めてから何秒後か求めよ。
[18 龍谷大)

Answer 1

✨ ベストアンサー ✨

LUX SIT

詰まったのは図形の見方でしょうか? 自分で適切な図を書いて考えることが大事です.
***
まず点PはAB=10√2mを10秒, 点QはBC=10秒で走破するので速さはそれぞれ√2m/秒, 1m/秒です.
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(1)∠BPQ=90°となるとき, △ABCと△QBPは∠B=45°を共有しているので△ABC∽△QBPがいえます[図を書こう].
点A, P, Bはこの順に一直線上にあるから(AB-AP)/BQ=BP/BQ=BC/BAが成り立ちます. 条件を満たすのが出発t秒後とすると
(10√2-√2t)/t=10/10√2⇔2(10-t)=t⇔t=20/3秒後ということになります.
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(2)∠BPQ=45°なので余弦定理からPQ^2=BP^2+BQ^2-2BP*BQcos45°で, 出発t秒後のPQ^2の長さは
PQ^2=t^2+(10√2-√2t)^2-2t(10√2-√2t)/√2=t^2+2(10-t)^2-2t(10-t)=5t^2-60t+200=5(t-6)^2+20.
したがって0≦t≦10での距離PQの最小値は2√5mで, それは出発6秒後であることが分かります.
***
余弦定理を習っていないときは直交座標をとるのがいいでしょう.
点Cを原点, CからAをy軸の正方向, CからBをx軸の正方向にとります.
このとき出発t秒後の点の座標はそれぞれP(t, 10-t), Q(10-t, 0)と書けます.
したがってPQ=(t-(10-t))^2+(10-t)^2=5t^2-60t+200=5(t-6)^2+20[以下は同じ]

LUX SIT

[訂正]
∠PBQ=45°なので余弦定理から
したがってPQ^2=(t-(10-t))^2+(10-t)^2=
にしてください.

*キナコ*

詳しい解説ありがとうございます！！図とと照らし合わせてみます！！