Question

マイク

解説お願いします

αを実数の定数とする. x, y, zの連立方程式
x+y+z=3-α,
x² + y² + z² = a² +2a+3,
x2+y+2°=-d-3a²+9a+27
について考える.
(1) xy+yz + zx, xyz を α を用いて表せ.
(2) x,y,z がすべて実数となるようなαの値の範囲を求めよ.
(3) x,y,zの中に値が互いに等しいものが存在するようなαの値をすべて求めよ。

Answer 1

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LUX SIT

対称式の問題です.
(x+y+z)^2=x^2+y^2+z^2+2(xy+yz+zx), x^3+y^3+z^3-3xyz=(x+y+z)(x^2+y^2+z^2-xy-yz-zx)
からはじめましょう. (2)の解の探し方は係数によく注意することです.
***
(1)xy+yz+zx={(x+y+z)^2-(x^2+y^2+z^2)}/2={(3-a)^2-(a^2+2a+3)}/2=3-4a.
またxyz={(x^3+y^3+z^3)-(x+y+z)(x^2+y^2+z^2-xy-yz-zx)}/3
={(-a^3-3a^2+9a+27)-(3-a){(a^2+2a+3)-(3-4a)}}/3
={(3-a)(a^2+6a+9)-(3-a)(a^2+6a)}/3=3(3-a)=9-3aとそれぞれaで表せる.
***
(2)実数x, y, zを解とするtについての3次方程式はt^3+(a-3)t^2-(4a-3)t+3(a-3)=0⇔(t-3)(t^2+at-(a-3))=0.
t=3以外の解が実数解を持つためにはtについての2次方程式t^2+at-(a-3)=0の判別式D=a^2+4(a-3)≧0であればよい.
すなわちa≦-6, 2≦aが求める条件である.
***
(3)3が重解の場合は3^2+3a-(a-3)=0⇔a=-6. t^2+at-(a-3)=0が重解をもつ場合はa=-6, 2なのでa=-6, 2.