✨ ベストアンサー ✨
極限計算って考えてみれば代入計算の進化形みたいなものですよね。
ただし、単なる代入計算に付け加わるルールがいくつかあります。
・代入する数として∞がある。
∞に関する計算ルール
∞+∞=∞
∞×∞=∞
1/∞=0
1/(+0)=∞
ーーーーー
∞-∞=?(不定形)
∞/∞=?(不定形)
∞×0=?(不定形)
0/0=?(不定形)
不定形というのはつまり「どんな値になるのかよくわからない」ということです。収束するかも発散するかもわかりません。
|r|>1のとき、limrⁿ=∞なので、単に代入すると、
lim(rⁿ-1)/(rⁿ+1)=∞/∞
となり、不定形になります。これではよくわからないので、単に代入するのではダメで、別の方法を考えなければなりません。別の方法というと、
|1/r|<1より、lim(1/r)ⁿ=0
ぐらいしかないので、これを使います。
他のときに、rⁿで割らないで数値を代入しているのは、単に代入するだけでうまくいくため、(rⁿで割るなどのような)別の方法を使う必要が全くないからです。
結局、これらの違いは、代入してみてうまくいく(収束する)か、そうでない(不定形になる)か、という違いです。
ポイントはr²ⁿが2n乗であることですね。
(-1)²ⁿ={(-1)²}ⁿ=1ⁿ=1
となり、2n乗のとき、nによらず常に正の数になるので、振動しません。
ですからr²ⁿについて改めて書き直すと、
|r|<1のとき、lim r²ⁿ = 0
r=1のとき、lim r²ⁿ = 1
r=-1のとき、lim r²ⁿ = 1
|r|>1のとき、lim r²ⁿ = ∞
というよりも、r²ⁿは(r²)ⁿとして捉えた方がいいでしょう。そうすると、
r²<1すなわち|r|<1のとき、lim(r²)ⁿ=0
r²=1すなわちr=±1のとき、
lim(r²)ⁿ=lim1ⁿ=lim1=1
r²>1すなわち|r|>1のとき、lim(r²)ⁿ=∞
知っている形に合わせる必要があります。r²ⁿとrⁿの違いを解消し、形を合わせるには、(r²)ⁿとして、r'=r²とおけばいいです。そうすると場合分けは
r²<1
r²=1
r²>1
となりますが、r²≧0なのでr²<0の場合は存在しません。
まとめます。
・極限がわかっているのはrⁿの形。これに合わせる。
・(r²)ⁿとなるが、r²≧0であるから、この範囲で場合分けをすればいい。
という感じです。
r²<1すなわち|r|<1とr²>1すなわち|r|>1というところは二乗だから絶対値をつけているということですか？
r²<1をrについて解くと-1<r<1となります。
|r|<1をrについて解くと-1<r<1となります。
したがって、r²<1と|r|<1は全く同一の範囲を表す表現です。
r²<1と-1<r<1と|r|<1はどれも同じ範囲を表すので、極限の場合分けに合わせて|r|<1を表現として選んだということです。
r²>1と|r|>1も同じ範囲を表します。(r<-1,1<r)
本当だ！
これでやっと分かりました！
何度も何度も質問に答えてくださりありがとうございます😭
同じことを高校の先生に言ってもよく分からなかったのですが文面でここまで理解できるなんて感動です✨
本当にありがとうございます！！
不定形になってしまう時は変形しているって感じですね！
理解できました！！
追加で質問なのですが良いですか？
先程場合分けの方も質問したのですが問に条件があるとはいえ場合分けの区分が違うのはどうしてでしょうか？
追加の写真の問題の(2)は実数であるから3枚目の写真の4個の場合分けではないのでしょうか？