Question

Mina

(3)の青の線を引いたところがわかりません。解説をお願いします🙇‍♀️🙇‍♀️

0291 次の条件によって定められる数列 {am} の一般項を求めよ。
2
o**) a=9, an+1=6an-3"+1
2) a=2, naォ+1=(n+1)a,+1
*8) a=1, a,+1=3am+4n

(3) an+1=3a,+4n
のとすると
an+2=3am+1+4(n+1)
2
②-① から
an+2-an+1=3(an+1-am) +4
b,=an+1-anとおくと
これを変形すると
bn+1=36,+4
bn+1+2=3(b»+2)
a2=3a1+4-1=3·1+4=7
また,①から
bi=a2-a」=7-1=6
よって
bi+2=8
ゆえに,数列{b,+2} は初項8,公比3の等比数
列で
b,+2=8:3"-1
b,=8-3*-1-2
数列b,1は数列{a,}の階差数列であるから,
よって
n22のとき

n-1
a,=a」+2(8·3-1_2)
k=1
8(3-1-1)
-2(n-1)
3-1
=4.3"-1-2n-1
3
初項は a」=1であるから, ③はn=1のときに
も成り立つ。
したがって
a,=4·3"-1_2n-1

漸化式

Answer 1

✨ ベストアンサー ✨

ブドウくん

b(n)+2=c(n)と置くと
b(n+1)+2=3 (b(n)+2) という式は
c(n+1) =3c(n)
となり、c(n)は公比が3の等比数列だとわかり、その初項c1はnに1を代入してb1+2=8(青線部)となるので、c(n)は初項8、公比3の等比数列だとわかり、c(n)とはb(n)+2なので、数列{b(n)+2}はは初項8、公比3の等比数列(青線部)です。
あとは、c(n)=b(n)+2からb(n)はc(n)-2で求められます。
一方、b(n)はa(n+1)-a(n)であることから、a(n)の階差数列です。わからないならば、漸化式の一番最初のところでやった、階差数列型の漸化式を復習しましょう。

Mina

ありがとうございました！