Question

あ

数Bの数学的帰納法の問題です。89(2)
①なぜ1−h>0と言えるのですか？
②なぜ(1−kh)(1−h)と1−(k+1)hを比べるのですか？

B
289 nを自然数とするとき,数学的帰納法を用いて,次の等式や不等式を証明せよ。
n
1
2
3
n
1
1-
三
2!
3!
4!
A
86,87
(2)(1-h)" >1-nh
ただし,n22, 0<ん<1

(2) n22, 0<んく1のとき (1-h)” >1-nh …① とする。
(1) n=2 のとき
左辺 = (1-h)°=1-2h+W, 右辺 =1-2h
h>0 であるから
左辺-右辺 = (1-2h+?)- (1-26) = °>0
248

ゆえに
左辺>右辺
よって,① は n=2 のとき成り立つ。
(2) k22 とし,①がn=k のとき成り立つ,すなわち
(1-h)* >1-kh
と仮定する。
n=k+1 のとき,①の左辺を② を用いて変形すると、
1
1-h>0より
を示せばよい。
次に、(1-kh)(1-h)と1-(k+1)hを比べる。
h>0, k22 であるから
(1-kh)(1-h) ー{1-(k+1)h}
= {1-(k+1)h+ kh°}-{1-(k+1)}= kh° > 0
れぜク
すなわち
(1-kh)(1-h)>1-(k+1)h
3, ④ より (1-h)*+1 > 1-(k+1)h
となり,①は =k+1 のときにも成り立つ。
(1), (2] より,nが2以上の自然数のとき①が成り立つ。
…の
総家(総m)