Question

ぷりん

（1）の解答1行目の「m,nは1以外に公約数を持たない自然数」で、なぜ整数ではなくて自然数なのですか？

確かにmとnどちらか片方だけがマイナスならば＝√3にならないので違うのはわかるのですが、両方マイナスなら間違っていないと思いました。
解説お願いします。🙇🏼‍♀️

*19(1) 整数aの平方α'が3の倍数ならば,aは3の倍数である。このこと
を用いて,V3 が無理数であることを証明せよ。
(2)次の等式を満たす有理数 a,bの値を求めよ。
a-3+(2-b)/3 +V3 (a-2b/3)=0
[07 北星学園大)

key 背理法の利用。
V3 が無理数でないと仮定して
矛盾を導く。
19 (1) V3 が有理数であると仮定すると,V3 =
n
(m, n は1
m
以外に公約数をもたない自然数)と表される。
Ex
V3 m=n
このとき
8
E「2)。
(341Kにいや
い数すご
(義れる)
両辺を2乗すると
3m2=n?
の
よって, n? は3の倍数となるから, nは3の倍数であり,
n=3k (kは自然数)とおける。
これをOに代入すると
V9ル
3m?=(3k)?
すなわち
m?=3k?
よって, m?も3の倍数となるから, mも3の倍数である。
ゆえに,mとnは公約数3をもつ。 < 6数でよりせん
これは mとnが1以外の公約数をもたないことに矛盾する。
したがって,V3 は無理数である。

数学a 命題 互いに素 素

Answer 1

maple

確かにどっちも負なら成り立ちますが、それって正の数にできますよね。

例えば-1/-2=1/2のように、どっちも負ならマイナスを外せます。
１以外に公約数を持たない、というのも、別に持ってても分数にはできます。しかし、それだと約分できます。
例)2/4=1/2（2と4は“2”という公約数を持つ）

こんな感じで、正の有理数であれば、必ず互いに素である自然数の分数で表せます。
ここを整数にすると、m≠0も明記しておかないといけません。面倒くさいので模範解答通りに書いた方が良いです。

ぷりん

解説ありがとうございます😊