Question

てゃと

数Ⅱのa＋b＋c＝0のときの等式の証明の問題です。
解答を見てもよくわからないです。

a＋b＋c＝0よりc＝-(a＋b)になるまでは理解できます。この後の証明がなぜそうなるかわかりません、、、

|2問題38]
a+b+c=0 のとき,次の等式を証明せよ。
(1) a?-2bc=b2+c? a

(2) 2a?+bc=(aーb(a-c)
5:2のとき
(3)(6+cXc+aXa+b)+abc=0

(3) 左辺= ab?-c'a+bc?-a'b+ca?-b°c
右辺=(a-bXbc-ab-c?+ca)
= abc-a'b-c?a+ca?-b°c+ab?
よって
(b+c)c+a)(a+b)+abc=0
39 a:b:c=1:3:4であるから,kを定数とし
て,a=k, b=3k, c=4k と表される。
+bc?-abc
a+b+c=24 より
k+3k+4k=24
= ab?-c°a+bc2_a'b+ca'-b°c
a(6?-c)+6(c?-a")+c(a?-b°)
8k=24 より
k=3
よって
したがって
a=3, b=9, c=12
=(a-b)(b-cXc-a)
別解 左辺=(c-b)a?-(c?-6)a+bc(c-b)
=(c-b)a?-(c-b)(c+b)a+bc(c-b)
=(c-b)\a?-(c+6)a+bc}
=(c-b(a-c(a-b)=(a-b(b-c(c-a)
40 (1)==2から
a
a=26, c=2d
よって
a+3c
26+3-2d
2(b+3d)
=2
b+3d
b+3d
b+3d
(2) x:y=2:3であるから, kを定数として,
x=2k, y=3k と表される。
3.2k+3k
=右辺
よって
a(b?-c)+6(c?-a)+c(a?-6)
3x+y
9k 9
=(a-b)(b-c)(c-a)
よって
x+2y
2k+2-3k
8k
8
38 (1) a+b+c=0 より
a°-26c-(6?+c?)
(3) x:y:2=3:5:2であるから,kを定数とし
て,x=3k, y=5k,z=2k と表される。
x?+ y?-2?
c=-(a+b)
(3k)?+ (5k)-(2k)?
x?-y?+z? (3k)ー(5k)+(2k)
=a'+26(a+b)-6?-(a+b)?
よって
=a°+2ab+262_6?-a'-2ab-6?
30k2
5
=0
-12k2
2
よって
a?-26c=b2+c?
別解 a+b+c=0 より
C=-(a+b)
41 (1) -ーkとおくと
a
C
a=bk, c=dk
左辺=a'+26(a+b)=a?+2ab+26°
右辺=6°+(a+b)%=6°+a°+2ab+6?
k(b+d)
=k
a+c
bk+dk
b+d
b+d
6+d
=a°+2ab+26°
6°k?.d
=k
62.dk
a'd
よって
a?-26c=6?+c?
b°c
(2) a+b+c=0より
c=-(a+b)
a+c
a'd
よって
2a°+ bc-(a-b)(a-c)
=2a°-b(a+b)ー(a-b)la+(a+b)}
=2a°-ab-62-(a-b)(2a+b)
=2a?-ab-b?ー(2a°-ab-6?)=0
2a?+bc=(a-6(a-c)
b+d
6°c
6°k+d°k
6°k-d'k
62+d?
k(6?+d)
k(6?-d)
ab+cd
ab-cd
よって
6?-d?
別解 a+b+c=0 より
左辺=2a°-b(a+6)=2a°-ab-6?
右辺=(a-b}a+(a+b)}=(a-b)(2a+b)
a°+c?_6°k?+d°k?
a?-c?
k6+d)
6°k?-d°k? k(6?-d)
c=-(a+b)
6°+d?
62-d?
=2a?-ab-b?
a?+c?
2a?+ bc=(a-6)(a-c)
(3) 6+c=-a, c+a=-b, a+b=-c より
左辺=(-a)(-6)(-c)+abc=-abc+abc=0
よって
ab+ cd
よって
ab-cd
a-c
(2)-==ニ=&とおくと
a
C
よって
(b+c(c+a)a+6)+ abc=0
別解 a+b+c=0 より
c=-(a+b)
x=ak, y=bk, z=ck
x+y+z
a+b+c
ak+bk+ck
a+b+c
kla+b+c)
左辺
a+b+c
={b-(a+b)}{{-(a+6)+a(a+b)-ab(a+b)
=(-aX-b)(a+b)-ab(a+b)
= ab(a+b)-ab(a+b)=0
=k
a

数ⅱ 等式 証明 等式の証明 不等式の証明