Question

とうきちろう

数列の数学的帰納法を解いたのですが、教科書の表記と異なります。どなたか正しいか間違っているか判断していただけないでしょうか

例題
nは自然数とする。 n +2は3の倍数であることを 数学的帰
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納法によって証明せよ。
証明 「n+2は3の倍数である」 を (A) とする。
[1] n=1のとき n+2n=13+2・1=3
よって, n=1のとき, (A)は成り立つ。
[2] n=kのとき (A)が成り立つ, すなわちk+2kは3の倍
数であると仮定すると, ある整数mを用いて
k3+2k=3m
と表される。
n=k+1のときを考えると
(k+1)³+2(k+1)=(k³+3k²+3k+1)+(2k+2)
=(k³+2k)+3(k²+k+1)
=3m+3(k²+k+1)
=3(m+k²+k+1)
m+k²+k+1は整数であるから, (k+1)+2(k+1)は3の
倍数である。 よって,n=k+1のときにも(A)は成り立つ。
[1], [2] から すべての自然数nについて (A)は成り立つ。終
↑ 教科書の間を以下のようにそくのは、まちがってますか?
よそで
証明 +2は3の倍数である」 を (A)とする。
[1] n=1のとき n+2n=13+2・1=3
(k+1)+2(k+1)
を計算して不足分を
よって, n=1のとき, (A)は成り立つ。
両辺に加えた
[2] =kのとき (A)が成り立つ, すなわち+2kは3の倍
数であると仮定すると, ある整数mを用いて
k3+2k=3m
2
両辺に3k+3kf3zpえると
k³ + 2k + 3k² +3k +3 = 3 m + 3/²² +3 (+3
k3+3K²+3K+1+2k+2=3(mtktk+1)
(k+1)' + 2(k+1)=3 (mtktkt1
2
m+k+k+1は整数なので (K+13+2(k+1)は
3の倍数、よって、n=ktiのときも成立する
[1][2]よりすべての自然多いについて(A)は成立する
k3+3+1+2k+2
=1+2+3+3k+3

Answer 1

✨ ベストアンサー ✨

みなみ

問題ありませんが、
教科書の方が唐突感がないのは確かです。