Question

てんきあめ*。

このシグマの計算方法が分かりません。解説ではこのように1/4で括っていたのですが、括るまでの過程を細かく知りたいです。お願いします🤲

n
Σk(K+1)(K+²)
K=1

(6) Žk (k+1) (k+²)
12=1
— {k(k+1) (k+²)(kt3) - (k-1)k(k+1) (k+2) }
In(htl) (h+²) (h+3)
4

σ 計算

Answer 1

✨ ベストアンサー ✨

haykwrot

これは公式を知ってる人の解き方ですね
入試でいきなり3行目を書くと減点されるかもしれないので2行目をあえて書いているのです

考え方としては積分に近いです
関数f(x)を積分するとき原始関数F(x)を求めますよね。数IIの範囲ですと次数を増やして分数で帳尻合わせみたいな感じです。

これをシグマでやろうとしたものが2行目です。
いま、Σf(k)について考えているとします。
ここでf(k)=F(k+1)ーF(k)となるような
F(k)を求めます。これはほぼ暗記です。
もし係数が合わないときは分数をかけるなどして調整します。ここは積分と同じですね。
例えば部分分数分解も同じ考え方になります。
こちらはほぼ丸暗記しているものと思われます。

さて、f(k)=k(k+1)(k+2)の場合はF(k)=(kー1)k(k+1)(k+2)となります。これは暗記です。
あとは積分のように係数調整して計算という流れになります。

haykwrot

参考動画です
https://m.youtube.com/watch?v=PV-K_7xuTNc

haykwrot

ここまで長文を書いてきましたが
普通に教科書レベルを超える内容です。私は通ったことがありませんが、予備校の授業で教える内容ではないかと思われます。

Answer 2

ガラス固化体@プロフ読んで

これパッと思いつくのは難しいです
まず代入してみて、1×2×3+2×3×4+3×4×5+...
ここで、2×3×4=(2×3×4×5-1×2×3×4)×1/4を思いつくのはまず無理なんですけど、
4つ並んだ数の1番小さいのを取って1番大きいののさらに一個大きいのにおきかえると1→5,2→6みたいになるので差が4なんですよね
掛け算で式にしてみると
2×3×4×5-1×2×3×4=(2×3×4)(5-1)みたいに
ここから、4つづつ掛け算引き算して4が毎回かけられて出てくるから1/4をするとっていう発想になります

てんきあめ*。

こういう時は毎回頭の中で1から考えなければいけないのでしょうか？それとも一つのパターンとして覚えていいのですか？

ガラス固化体@プロフ読んで

前提となる知識？として、「ある形になった時順番に書くと前後で打ち消しあって計算しやすくなる」という特性を知っていてそれを無理やり作ろうという考えですね。
部分分数分解とかが感覚としては近いかと