Question

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aの範囲が0<a<1なのが分かりません

136 第5章 微分法
75 分数関数の最大・最小
曲線 y=1-2 がある。 点P(α, 1-α²2) は第1象限の中でこの曲
上を動く.
(1) Pにおける接線の方程式をaを用いて表せ.
lとx軸、y軸によってつくられる三角形の面積Sをaを用いて表
(2)
せ.
(3) Sが最小となるようなPの座標を求めよ.
典型的な最大・最小の問題です。
精講
(1), (2) は数学ⅡIの範囲で、 使う道具は接線公式 (数学ⅡI・B85)で
(3) 微分法を図形へ応用するとき, 変数のとりうる値の範囲に注意
します.
解答
AY
(1) y'=-2xだから, Pにおける接線は
a²+1
y-(1-α²)=-2a(x-a)
:.l:y=-2ax+a²+1 (0<a<1)
(2) ly切片は²+1 (>0)
a² +1
切片は
(>0)
2a
..=1..
• (a²+1)=-
(a² + 1)²
2 2a
4a
-
{(a²+1)²}'•4a − (a²+1)²(4a)'
(4a)2
2(a²+1)・2a4a-4 (α²+1) 2
16a²
=.
(a²+1){4a²−(a²+1)} _ (a²+1)(3a²—1)
4a²
4a²
0<a< 1 だから,
0
S'=0 より a=
1
√√3
基礎問
(3) S′'′ =
a²+1
a
S'
1-a²
Pla,1-a)
a²+1
2a
y=1-x²
a²+1が共通因数に
なることが見えてい
る
1
√√3
20
G
+

Answer 1

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点P (a, 1－a²) は第1象限を動くので、
x座標、y座標はともに正となります。

つまり、a＞0 ･･･① かつ 1－a²＞0 ･･･②

②を解くと、－1＜a＜1。

①と合わせて、0＜a＜1。