Question

はやし

(2)で判別式を用いると思うのですが、なぜD≧0ではダメなのでしょうか？解説ではD＞0となっています。

24 すべての x (あるx) に対して・・･
不等式 ax²+(a-1)x+
について,
(1) すべての実数xに対してこの不等式が成り立つような定数αの値の範囲
を求めよ.
② この不等式を満たす実数xが存在するような定数αの値の範囲を求めよ.
(千葉工業大・改)

Answer 1

✨ ベストアンサー ✨

サスケ

整理しながら話を進めさせていただきます。
前提として、放物線とy=0の交点の個数、それと判別式Dの大きさの関係は、以下のように分類されます。
2個⇔D>0
1個⇔D=0
0個⇔D<0

a>0,a=1なら不等式を満たす実数xが必ず存在することがy=(不等式の左辺)のグラフの概形から明らかです。

a<0については、グラフが上に凸の放物線なので、グラフとy=0の交点は2つ必要になります。これがD>0となる理由です。

「交点は1つ(D=0)でも良いじゃないか？」と思われるのでしたら、それは偽です。交点が1つの場合、グラフの頂点のy座標は0となり、y>0の部分がありません。すなわち、不等式を満たす実数xが存在しないということです。

はやし

とてもわかりやすかったです(TT)
1からの説明ありがとうございます😭

はやし

申し訳ないのですが、出来ればこの問題の(2)で判別式Dが重解を含んでD≧0にならない理由も教えて頂きたいです😭
解説ではD＞0となっていて、、。

サスケ

これも同様に考えます。
まず、y=(不等式の左辺)のグラフは下に凸の放物線であることは確定しています。
このグラフがx軸と交点を2個持つことが必要なので、答えはD>0となります。

D=0のときは交点が1つで、その場合この放物線はx軸と接することになりますから、y<0の部分が存在しないことになります。

「D=0(交点が1つ)のとき、不等式を満たす実数解xは存在するだろうか？」と考えるようにしてみてください。

はやし

解決出来ました、！！
一気に分かりました本当にありがとうございます😭