Question

美沙

なぜ下線のところで判別式を使うのでしょうか。

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例題246 放物線と接線の囲む面積(②2)
2つの放物線 C:y=x²-5x+7, C2:y=x2+3x-1 の両方に接する
直線をl とする.
(1) 直線l の方程式を求めよ.
解答
item
(2) 放物線 C,C2 と直線ℓとで囲まれた図形の面積を求めよ . (工学院大)
考え方
(1) C に接する直線を考え, それが C2 にも接することから求める.
(2) グラフをかいて求める部分を確認する.
(1) C1:y=x2-5x+7 に接する直線を考える.
接点のx座標をα とおくと,y'=2x-5 より
の方程式は, y-(α²-5a+7)=(2a-5)(x-α)
Focus
y=(2a-5)x-a²+7
この接線が C2:y=x+3x-1 にも接する。
x2+3x-1=(2a-5) x-g'+7 (+ook)=v
x2-2(α-4)x+α²-8=0...... ①0
① の判別式をDとすると, 接するから, D=0_ (d
1/1={-(α-4)}'-(α²-8)=0 より,α=30
よって、 直線l の方程式は,
y=x-2
(2) 2つの放物線 C1, C2 と直線lとで囲まれ
た図形は右の図の色をつけた部分である。1f=
C1, C2 の交点のx座標は, SiとSの
x2-5x+7=x2+3x-1より)x=1
C と lの接点のx座標は, (1) より,
2 と lの接点のx座標は,
x2+3x-1=x-2 より, x=-1d+ops)}-
よって, 求める面積は,
S_₁{(x²+3x −1)—(x−2)} dx
10-01TRY
インドプロロー
+=$_,(x+1)dx+f'(x-3)2dxLd
++S²{(x²–5x+7)−(x−2)} dx
13,22311
x=3
| C の接線とC2の接
接線線が一致するとき
この直線は C と C
の両方に接すること
を利用してもよい。
接点の座標は
(α, 2-54+7)
接点
yを消去して,
のx座標を求める 2
次方程式を作る.
接する
⇔ 判別式 D=0
(重解をもつ)
α=3 を接線の方程
式に代入する.
wy IC2 IC1
放物線と接線 連立して (判別式) = 0
=1/12(x+11+1/23(x-3)=1/22-1/3(-2)=108
S__ |(²=2) 18+ (6 78-8
***
1
O 23
16

Answer 1

✨ ベストアンサー ✨

飛鳥

接線がC2に接することは①式が重解を持つことに言い換えられるから
判別式＝0を解きます

美沙

もう少し詳しくお願いします🙇‍♀️

飛鳥

①の式はC1の接線とC2の接点のy座標が等しいことを表しますよね？
接するということは一点しか同じ座標を共有しないわけですから、ここでxの値が二つ出てきてしまったらC1の接線はC2と2点で交わることになり直線lはC2の接線ではなくなりますよね？(C1の接線ではあるが)
なのでxの値がただ一つの実数解でなければなりません。

→これらのことを数式で表すと、①のxがただ一つの実数解を持つ(重解を持つ)だから判別式DとするとD=0となるxを求めるという作業になります。

美沙

ありがとうございました！