Question

Karu

(4)の問題で、どうしてこの命題の否定が「全ての自然数xに対して、、、、≠0」になるのでしょうか。
「全て」だと命題に「ある~」があるはずですが、(4)の「ある」は「〜である」と断言しているという意味では無いのでしょうか？また順番は命題と逆になっていますがいいのでしょうか。

次の命題とその否定の真偽をそれぞれ調べよ。
(1) すべての実数xについて x
(2)
ある素数は偶数である。
(3)
任意の実数x,yに対して x²-4xy+4y²>0
(4) x2-3x-10=0 である自然数 x が存在する。
MAGERE
ESP

(4) 命題: x2-3x-10=0から
(x+2)(x-5)=0
x=-2,5
(x+2)(x-5)=0 を解くと
自然数 x=5が存在するから 真
否定 : 「すべての自然数xに対してx2-3x-100」
x=5のときx2-3x-10=0
よって偽
asta

Answer 1

✨ ベストアンサー ✨

和

確かにこの「〜である」は断定の「ある」です

否定して「すべて」が出る理由は
「存在する」があることです
「存在する」は少なくとも1つは〜であるということ
その否定は1つも〜でない、つまりすべて〜でない
ということです

それはチャートだと思いますが
どこかのページに「ある〜」と「存在する」は同じ意味
みたいなことが書いてあると思いますよ

Karu

命題を全て「バー命題」にすれば否定がわかりますか？「ならば」の否定はこれらと全く別の考え方でしょうか？

和

>命題を全て「バー命題」にすれば否定がわかりますか？
形式上はそうですが、実際には否定はバーを使わずに書くので、結局はどう表現するかをよく考えることになります
形だけバーをつけたからといって何か前進したわけではないですね

>「ならば」の否定はこれらと全く別の考え方でしょうか？
違うと言えば違いますかね
AならばBの否定は
AだけどBでない（Bでないことがある）
（Aかつ「Bでない」）
です

> 順番は命題と逆になっていますがいいのでしょうか。
この順によって内容に差が出るわけではないのでいいです
すべての自然数xに対して…≠0も
…≠0がすべての自然数xにおいて成り立つも
同じことです

Karu

ありがとうございます、この範囲は少し理解が難しいのでまた考えたいと思います。