重要 例題 54 ベクトルと座標軸のなす角
空間において,大きさが4で,x軸の正の向きとなす角が60° 軸の正の向きと
00000
なす角が45° であるようなベクトル」を求めよ。 また, かがy軸の正の向きとな
す角0を求めよ。
指針(軸の正の向きとなす角)=(●軸の向きの基本ベクトルとなす角)
と考えるとよい。すなわち, i=(1,0,0), z=(0, 1,0), 蔚=(0, 0,1),
=(x,y,z)として,まず内積 per, pies を考え,x, zの値を求める。
(
解答
(1, 0, 0), (0, 1, 0), es=(0, 0, 1), p=(x, y, z)
とするとpe=xe pes=z
15 P
また
bet=|||e|cos60°=4×1×1/2/4②2)
!
p.es = |p|les|cos 45°=4×1×-
x=2,z=2√2
よって
このとき |=22+y^+(2√2)=2+12
16 であるから y2=4
ここで
ゆえに
pez
y
y
cos0= |lleal 4x1=4
|||ez|
4×1
=2√2
y=±2
=/20
[0]
ゆえに,y=2のとき, cos0= 12/2 であるから 0=60°
181
38 y=-2のとき, Cos0=1/12 であるから 8=120°
-d
したがって
=(2,2,2√2)=60°または
p=(2, -2, 2√2), 0=120°
から cosa=
COS y=
160_
x
45°
0140 ALTO
a=(a1,a2, as) に対して,こがx軸、y軸, z 軸の正の向きとそれぞ
れなす角を α, B,Yとすると,斜辺の長さが| である3つの直角三角形
a222
........･
A3
である。 このとき, COS α,
Tala
2
a1
a Talt
cos B=-
11'4
だ
4
COS β, cosy をこの方向余弦という。
また, la=a²+a2²+as² であるから, cos' a+cos' β+cos'y=1 が成り
立つ。
AZ
O
[別解
p=(4 cos 60°, 4 cos 0,[)
4cos 45°) ||=4であるか
5
22+16cos²0+ (2√2)=42
よって, cos'=-から
4
cos0=±
これから, 0, を求める。
na
基本51
x
(1)
(s)
a3
AZ Jel
N
Y-
á B
0
azy
465
2章
8
空間のベクトルの内積
