Question

みさ

二次関数の最小、最大の問題です。
頂点を求めるところまでは分かるのですが、どこで場合分けして良いのか分かりません。
解説よろしくお願いします。

4 ② は正の定数とする。 関数 y=-2x2+8x+] (0≦x≦ a) について,次の問いに答えよ。
a
(1) 最大値を求めよ。
(2) 最小値を求めよ。

4) Y = = 2 (x² - 4x) + |
(1)
= -2 √(x - 2)² - 4}+\
-2 (x - 2)² + 9
(2)
0R2
(1) a (2
02
or
4
02
a
0222a
14
a= 49ε =
x=0,4で
最小値1
(2,9)
d
20 a
oca
02
fi

Answer 1

✨ ベストアンサー ✨

ありくい

上に凸のグラフの場合、最大値の時は頂点のx軸、
最小値の時はx=0の時のyの値と同じxの値に注目してみると良いです。
下に凸のグラフの場合は注目する点が、最大値と最小値が逆になります。

みさ

なぜ、そのような場合分けになるんですか？
根拠を教えて頂きたいです。

ありくい

今回頂点が(2.9)になりますよね？
上に凸のグラフなので最大値は9よりも大きくなることはないです。
最大値は0≦x≦aの範囲の中で、aが2を超えるまでは最大値はわからないけどx=aの部分が最大値、しかし頂点のaが2を超えてしまったら、グラフよりずっと下がっていくので、最大値が9であることには変わりないです。

最小値は頂点を超えてもx=0が最小値ですが、どこかしらでx=0を代入した時の値と同じ値になるxの部分があります。(yが同じ高さになる場所ですね)今回はx=4がx=0と同じy=1となります。ここに注目して場合分けをします。aが4を超えるまでは最小値はx=０の時ですが、a=4になった時はx=0とx=4の最小値の値が同じになります。そしてaが4を超えたらあとはグラフは下がっていくのでx=aが最小値となります。

長々とすみません。どうしても文章で伝えようとすると分かりにくくなってしまうので、申し訳ないです。
グラフに範囲の中でx=aの縦線を引いてみて、このxの部分を超えたら最大値や最小値はどこかなと書いてみると一番わかりやすいかもしれないです。イメージ頼りになってはしまいますが

みさ

ありがとうございます