Question

さこ

曲線で囲まれた部分の面積を求める問題です。
（画像はその問題の解説です。）
黄色の部分が曲線の方程式です。
青色の部分までは理解しました。
ただピンクの部分が何をしているのかよく分かりません。

【Sをxについて積分する式】から【θについて積分する式】に変換しているのはわかるんですが、特に線を引いている部分の過程を丁寧に説明して欲しいです。

また【θについて積分する式に変換するメリット】がよくわかってないからそう思うのかもしれませんが、
『変換しないでそのまま積分したらいいのに🤔』と考えてしまいます。
でもそうした場合、答えにあるπが現れなさそうな気もします。。

解説お願いします🙇🏻‍♂️

3r± √9r²-16r² +32 3.r± √32-7r²
4
4
グラフは下図のようになるから. 曲線で囲まれた部分の面積をSとする
と
y =
だから
= 15 *
4√14
7
ここで、x=-
7
3√14 3,17
= -1/2 √ √ √32 - 7x² dx =
dx=
4,14
4√14
7
S= (3x + √32-7x² 3x-√32-78²) de
dx
WII
4
4
3.x-√32-7x
4
22-24
32
x² dx
-sin
cos Odo
√32-7x² dx = √32-7.x² dx
-32/7 1
S
32√7
7
S=
5 = √7 $1²3√1/²3/²2 (1-sin³0)
7
p=
2
3x+√32-7x²
4
4,14
7
3,1 3,1
7
( - 17 S0S 7 ) LBC L
とおくと
4√14
7
- 16/7/8/7x -40%
16√7 8√7
→(カ
2
- cos 0d0 =
2016/7 [0+ sin 201
16√7
1
2
X
X
0
32√7² cos² Odo
7
4√14
7
2

積分

Answer 1

✨ ベストアンサー ✨

poppo

これはxのまま積分できるでしょうか？

∫√(a^2-x^2)dx の形なので、
x=asinθと置いて置換積分しないとそもそも積分できないのです。

xのままでは積分できないから、置換積分を行っています。

さこ

なるほど。。
そもそも積分できないのはどうしてですか？

poppo

もしこの置換積分がわからなければ、
このパターンの簡単な計算例題を探してそちらから解くといいと思います。(この問題は数字が綺麗でないのでわかりづらいと思います)

さこ

コメントありがとうございます！
置換積分についてとやり方は先程理解しましたが、
xのまま積分できない理由だけよく分かりません！

poppo

今まで多くの積分公式を学び、それを使って積分計算をしていると思います。

今回の√(a^2-x^2)はそれらの公式を利用して積分計算を行うことができないのです。(高校範囲では)

今までの知識で計算するための工夫が置換積分、という感じでしょうか。

さこ

なるほど🤔ありがとうございます！