Question

涼風

数学の式と曲線の問題です。

黄色マーカーで引いたところの解説お願いします

基礎問
2 円(ⅡI)
だ円
P(zu, y) をとり,点Pでの接線 ②2 直線 y=1, および,x=2との交点
をそれぞれ,Q,Rとする.点(2,1)をAとし, AQR の面積をSとお
く.このとき次の問いに答えよ.
(1) 1+2y=k とおくとき, 積141 をkを用いて表せ.
(2) Skを用いて表せ.
(3)
精講
(1) 点Pはだ円上にあるので, zi+4yi²=4 (π1>0,y>0) をみた
しています.
(2) AQRは直角三角形です.
(3) のとりうる値の範囲の求め方がポイントになります。 解答は2つありま
すが、1つは演習問題1がヒントになっています.
解 答
(1)
の部分をCで表す。 曲線C上に点
+y=1のx>0,y>0
mi2+4y²=4
Ⅱ (1+2y1)2-4.miy=4
k²-4
4
(2) P(x,y) における接線の方程式は
mrx+4yy=4
Q(4-4₁, 1), R(2, 42
I
4y1
PC上を動くとき, Sの最大値を求めよ.
:: Q
;.miy=
よって,
4-2.1
AQ=2- 4-4y_2.1+4y-4
X1
X1
AR=1-4-2x₁2x₁+4y₁-4_x₁+2y₁-2
4y1
4ys
2y1
• S= AQ• AR=(x₁+2y₁−2)² _ 2(k−2)²
2xıyı
k²-4
Q
P
x=2
Ay=1
R
C
<_2(k-2)
k+2
(3) (解Ⅰ)(演習問題1の感覚で･･・)
mi' +4y1²=4....①
=2.
x+2y=k ......②
4/1 を消去して
8
k+2
x²+(k-m)²=4
12x1²-2kx+k²-4=0
判別式≧0 だから、
演習問題 2
り
k²-2(k²-4)≥0k²-8≤0
:: -2√2 ≤k≤2√2
また、右図より 11
よって,
2<k≧2√2
が最大のときSは最大だから, Sの最大値は 6-4√2
(0<<) とおける.
②ポイント
∴.2<k
(4) ₁²+y₁²=1&h | 2cos0
y = sin0
k=x₁+2y₁=2(sin0+cos0)=2√/2 sin(0+1)
3π
<+42 だから、 // <sin (0+/4) 1
≤1
2<k≤2√2
が最大のときSは最大だから, Sの最大値は 6-4√2
円+432=1上の点は
x=acose, y = bsin0 とおける
9
だ円+g=1と直線y=-2x+k(k:定数)は,異なる 2
点P, Qで交わっている. このとき,次の問いに答えよ.
(1) 定数kのとりうる値の範囲を求めよ.
(2) 線分PQの中点の軌跡の方程式を求めよ.
第1章

数学3