Question

らむ

(3)で
どこが間違っていますか？教えてください🙏

514
0000
重要 例題 118 確率と漸化式 (2)
初めに, A が赤玉を1個, Bが白玉を1個, Cが青玉を1個持っている｡ 表
裏の出る確率がそれぞれの硬貨を投げ, 表が出ればAとBの玉を交換し
n回線
裏が出ればBとCの玉を交換する, という操作を考える。 この操作を
り返した後にA, B, C が赤玉を持っている確率をそれぞれ an, bn, n とする。
(1) a1, bi, C1, az, bz, C2 を求めよ。
(2) an+1, bn+1, Cn+1 を An, bn, Cn で表せ。
○○(3) bn を求めよ。
CHARTO SOLUTION
確率と漸化式
1 n回目と(n+1)回目に注目 ②
(確率の和)=1にも注意
(1) 2回の操作後までの, A, B, Cの持つ玉の色のパターンを樹形図で表す。
赤玉か, 赤玉でないかが問題となるから, 赤玉を○,赤玉以外をxのように書
の
くとよい。
(2) (n+1) 回後にAが赤玉を持っているのは
[1] n回後にAが赤玉を持っていて,(n+1) 回目に裏が出る
[2] n回後にBが赤玉を持っていて,(n+1) 回目に表が出る
のいずれかであり, [1], [2] は互いに排反であるから, an+1 を と を用い
解答
(1) 赤玉を持っていることを○, 持
っていないことを×とし, A, B,
Cの順に○×を表すことにする。
2回の操作による A, B, C の玉
の移動は、右のようになるから
て表すことができる。
(3) 回後にA,B,Cのいずれかが赤玉を持っているから,すべての自然数n
に対して, an+bn+cn=1 が成り立つ。 このかくれた条件がカギとなる。
a₁=17127₁ 6₁=1/1/₁ C1=0, a2=
2'
b2=
[類 名古屋大]
1 1 1
C2=
2 2 4'
1
=an+ 1/76₁
-bn
an+1=-
XOX<
表
裏
表× ×
× ○
×
×○×
xx__
表
Oxx<
1 1 1
2 2 4
(2) (n+1)回後にAが赤玉を持っているのは,次のような場
合である。
STRESOOD ***-
[1] n回後にAが赤玉を持っていて, (n+1) 回目に裏が出る。
[2] n回後にBが赤玉を持っていて, (n+1) 回目に表が出る。
よって
基本 111, 重要 117
Oxx<
裏
[Han
◆ 例えば, ○ × × は
1/12/12/21/12/12/3=12/21 PAR
+
A : 赤, B: 赤以外,
C : 赤以外
ということ。 各枝のよ
うに推移する確率はど
れも 1/2である。
{1+x) [
an 裏
○x x
bn
+ XOX
ASH D03
=100
表
an+1
OXX
(n+1)回後にBが赤玉を持っているのは,次のような場合
である。
07回後にCが赤玉を持っていて、 (n+1)回目に裏が出る。
n
1
1
よって
(n+1)回後にCが赤玉を持っているのは、次のような場合
である。
[5]
n回後にCが赤玉を持っていて, (n+1) 回目に表が出る。
[6] n
11/20nt/1/28cm
...... 3
(3) n回後に A, B, C のいずれかが赤玉を持っているから,
a+b+cn=1 である。
②から
よって
bn+1=an+ Cn
2
回後にBが赤玉を持っていて, (n+1) 回目に裏が出る。
よって
Cn+1=-
and
bn+1=1/(an+Cn)=1/(1-bn)
- 1/2 (10₁ - 12/17)
bn
bn+1
3
10/1/13-1/12/12/3=1/10/0
また
6
ゆえに, 数列{bn/3} は初項1,公比 - 12 の等比数列であ
6'
2
THE
b1
65 - - - - - (-1)
1 1
るから
bn
3 6
したがってb=1/(-1.2.1+1/1
6
linf.
an, Cn は以下のように求めることができる。
1350
n-1
an+cn=1-bn=1-
1 - ( 12 ( - 12 ) ² + + + 3 )
² = = = = ( − 1/² ) ² + + ²/3/²
よって
an+cn=
IR BRORS
①-③ から
an+1Cn+1=
n-1
*-=-²/ ( ² ) ² * = (-²)*
22
an-Cn=
= 1/(an-cn), ar-c₁=1/12-0=1/1/2
ゆえに
(④⑤) 2から12/11/2)+(1/2)+1/3
an=
大 (④⑤)÷2から
an
Oxx-
Cn
XXO
\n+1
c ₁ - 1 - (- / +)* - ( + ) ¹ ¹ + 1 -
Cn
3
bn
XOX
Cn
xxC
<<
a
←。
PRACTICE... 118⑤ 各面に1から8までの数字が1つずつ書
ろを繰り返し投げ, n回目までに出た数字の合計を X (n) と
れる確率をan, X (n) を3で割ったとき1余る確率をbm, X
る確率をCとする。 ただし、1から8までの数字の出る確率
(2) an+1, bn+1, Cn+1 を an
(1) 1, b, CL を求めよ。
(3) an+1 を an を用いて表せ。
(4) an, bn, Cn を求

(3) Ant Dent (n=1
lan = 1 - (Aut Cn) - D
2
(1) line = = 2 ( Cut Cn) x^²)
Aut Cn. 2 hm1.
Din = 1-2 hazl
(h₁ - 1/2 ) = - 2 ( lant
3
An
l^n = = =( +(-2) ² + 1/
3
-= 3 )

Answer 1

✨ ベストアンサー ✨

マイク

bn+1 －α＝p(bn－α)の形にしましょう。
bn－α＝p(bn+1 － α)の形になっているのが誤りです