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こういう問題って、要は
『平面上の点Rについて
Rが求める軌跡上の点である
⇔
R はホゲホゲ上の点である
である。ホゲホゲは何か？』
という問題だと思うんですね。で、順番として、通常は
『Rが求める軌跡上の点である
⇒
R はホゲホゲ上の点である』
を先にやります。なぜかというと、逆
『R はホゲホゲ上の点である
⇒
Rは求める軌跡上の点である』
は、やろうにもホゲホゲの正体がわからないのでやりようがないからです。
『軌跡上の点⇒ホゲホゲ』をやると、軌跡の条件からホゲホゲが何なのか見えてくるので、まずはこれを先にやってホゲホゲが何なのか解明し、その後で『ホゲホゲ⇒軌跡上の点』をやります。
というわけで、
『Rが求める軌跡上の点である
⇒
R はホゲホゲ上の点である』
をやるわけですが、これの意味は
『Rを求める軌跡上の点であると仮定したとき、Rはホゲホゲ上の点である』
ということです。
というわけで、R=(x,y)を求める軌跡上の点とします。
このとき、円x^2 + y^2 =4 上の点(s,t)で
x=(s+4)/2 , y=t/2
を満たすものが存在するわけです。なぜかというと、Rは求める軌跡上の点だからです。
(s,t)は円x^2 + y^2 =4 上の点でありますので、（x,y）は
(2x-4)^2 + (2y)^2 =4
すなわち
(x-2)^2 + y^2 =1
を満たすわけです。
以上より、求める軌跡上の点は（2,0）を中心とする半径1の円(x-2)^2 + y^2 =1上にあることがわかった、というわけです。
つまり、
『Rが求める軌跡上の点である
⇒
R はホゲホゲ上の点である』
これが終わり、ホゲホゲの正体は円(x-2)^2 + y^2 =1だとわかったわけです。
で、これから逆
『R はホゲホゲ上の点である
⇒
Rは求める軌跡上の点である』
をやります。
ホゲホゲの正体は円(x-2)^2 + y^2 =1だったので
『R は円(x-2)^2 + y^2 =1上の点である
⇒
Rは求める軌跡上の点である』
をやります。
これの意味は
『R を円(x-2)^2 + y^2 =1の点であると仮定したとき、Rは求める軌跡上の点である』
ということです。ではこれをやります。
R=(a,b)を円(x-2)^2 + y^2 =1上の点であるとします。
このとき、R'=(2a-4, 2b）とすれば、R'はAとRの中点で、
（2a-4)^2 + (2b)^2
= 4｛ (a-2)^2 + b^2 ｝
= 4
であるから、R'は円x^2 + y^2 =4 上の点です。※最後の等号でR=（a,b）が円(x-2)^2 + y^2 =1上の点であることを使ってます。
以上より、Rは円x^2 + y^2 =4 上の点R'とAの中点なので、求める軌跡上の点です。
これにて
『R は円(x-2)^2 + y^2 =1上の点である
⇒
Rは求める軌跡上の点である』
も終了し
『Rが求める軌跡上の点である
⇔
R は円(x-2)^2 + y^2 =1上の点である』
がわかり
求める軌跡は円(x-2)^2 + y^2 =1だったとなるわけです。
不明な点ありましたらコメントで仰っていただければと思います。
すみません、ホゲホゲってなんですか？