Question

ゆうき

この極限(1)、(2)の結果は必ず覚えておいた方がいいものですか？
例を見ても、この極限の結果が使われてしまっているので証明にはなってない気がしました。

次の極限は,入試
(2) lim
(1) lim =limxe-*=0
x→∞
X→∞ XC
XC
y'
x
y
次の2つのグラフをかいてみる.
logx
(1)y=xe-x より
x
y
(注)
x →∞
dy =e
dx
x18
limxe*=0.
では極めて重要である.
= 0, lim xlogx=0
x→+0
(-∞0)
dy
dx
lim xe =-8.
X→∞
|(-∞0)
=(1-x)e-x.
x→+0
x→8
d'y
(注) -=(x-2) e-x なので, 点 (2, 2e-2) が変曲点である。
dx²
(2)y=xlogx より
- xe
=10gx+1,
limxlogx=0.
(0)
limxlogx=8,
(0)
+
= logx+x..
1
x
e
...
->0 (x>0).
-1
1
x
e
0
・1
e
dx2
よって, グラフは下に凸である.
E
(∞)
+
(0)
(00.)
(∞)
0
y=xe
1
y=x logx
1
2
x

Answer 1

✨ ベストアンサー ✨

AZ

覚えておいた方がいいでしょう.
(1)は不等式eˣ≧1+x+(x²/2)を利用して証明でき,(2)は(1)を利用すれば直ちに求まります.

AZ

問題文で極限の結果が与えられている場合が多いと思います.

ゆうき

ありがとうございます、(1)をそこからどう証明すればいいか教えてもらっていいですか？

AZ

eˣ≧1+x+(x²/2)はx≧0のとき成り立ちます(数学的帰納法で証明可能).
eˣ≧1+x+(x²/2)より
0＜1/eˣ≦1/{1+x+(x²/2)}
0＜x/eˣ≦1/{(1/x)+1+(x/2)}
lim[x→∞]1/{(1/x)+1+(x/2)}＝0なので,はさみうちの原理から
lim[x→∞]x/eˣ=0

ゆうき

ありがとうございます！

ゆうき

すみません、数学的帰納法を使っての証明でここで詰まってしまいました。。
ここからどうすればいいでしょうか。

AZ

大変申し訳ありません...
不等式eˣ≧1+(x/1!)+(x²/2!)+(x³/3!)+…+(xⁿ/n!)　(x≧0)　・・・（＊）
と勘違いしてしまいました.
（＊）は数学的帰納法で証明することができます.
（＊）が証明できればn=2を代入すればeˣ≧1+x+(x²/2)　(x≧0)が得られます.
eˣ≧1+x+(x²/2)　(x≧0)だけを証明する場合は,次の手順でやってみるといいと思います.
(1)x≧0のとき、不等式eˣ≧1+xを示せ.
(2)x≧0のとき、不等式eˣ≧1+x+(x²/2)を示せ.

ゆうき

ありがとうございます、やってみます！