Question

ゆうき

この証明を数学的帰納法で解こうとしたのですが出来ません。
やり方を教えてください🙇‍♀️

数学的帰納法
(x≧0のとき)より、
26
2
EI).
証明
ex≧1+x+を示す
(i) x=1のとき
ez1+1+1/2=2.5
より、(*)成立
(ⅰⅰ) x=員のとき、(笑)が成立すると仮定すると
e k ≥ 1 + k + 1/2 ²2
ekzi+h+…. ②
X=B2+1のとき、(*)が成り立つことを示す。
eR+1₂ e (1 + e + ²)

Answer 1

AZ

eˣ＞1+(x/1!)+(x²/2!)+(x³/3!)+…+(xⁿ/n!)　(x＞0)(n=0,1,2…)の証明です.
fₙ(x)＝eˣ－{1+(x/1!)+(x²/2!)+(x³/3!)+…+(xⁿ/n!)}　(x>0)とおきます.fₙ(x)＞0を示します.
n=0のときx>0よりeˣ＞1で成立.
n=kのとき成立,つまりfₖ(x)>0とすると
fₖ₊₁(x)＝eˣ－{1+(x/1!)+(x²/2!)+(x³/3!)+…+(xᵏ/k!)+(xᵏ/(k+1)!)}
f'ₖ₊₁(x)
＝eˣ－{1+(x/1!)+(x²/2!)+(x³/3!)+…+(xᵏ/k!)}
＝fₖ(x)>0
また,fₖ₊₁(0)=0より
fₖ₊₁(x)＞0
∴fₙ(x)＞0
∴eˣ＞1+(x/1!)+(x²/2!)+(x³/3!)+…+(xⁿ/n!)　(x＞0)

AZ

✖fₖ₊₁(x)＝eˣ－{1+(x/1!)+(x²/2!)+(x³/3!)+…+(xᵏ/k!)+(xᵏ/(k+1)!)}

○fₖ₊₁(x)＝eˣ－{1+(x/1!)+(x²/2!)+(x³/3!)+…+(xᵏ/k!)+(xᵏ⁺¹/(k+1)!)}