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対数の底は 1以外の正の実数 でなければならないので、(0＜(x+1)＜1、1＜(x+1)) かつ (0＜(x+1)²＜1、1＜(x+1)²)
これを解いて、-1＜x＜0、0＜x・・・①
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対数の真数は 正の実数 でなければならないので、0＜(x+2) かつ 0＜(10-x)
これを解いて、－2＜x＜10・・・②
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また、与式を底の変換公式を使って自然対数にすると、ln(x+2)/ln(x+1)≧ln(10-x)/ln(x+1)²
(右辺)＝ln(10-x)/2ln(x+1)
両辺に2を掛けて、2ln(x+2)/ln(x+1)≧ln(10-x)/ln(x+1)
(左辺)＝ln(x+2)²/ln(x+1)＝ln(x²+4x+4)/ln(x+1)
両辺に ln(x+1) を掛けて、
(ｱ)x+1＜1のとき、ln(x+1)＜0なので、ln(x²+4x+4)≦ln(10-x)
(ｲ)x+1＞1のとき、ln(x+1)＞0なので、ln(x²+4x+4)≧ln(10-x)
(ｱ)底e＞1なので、真数同士を比較して、x²+4x+4≦10-x ⇒ x²+5x-6＝(x-1)(x+6)≦0 ⇒ -6≦x≦1
x+1＜1 ⇒ x＜0 と合わせて、-6≦x＜0
(ｲ)同様に、(x-1)(x+6)≧0 ⇒ x≦-6、1≦x
x+1＞1 ⇒ x＞0 と合わせて、1≦x
(ｱ)または(ｲ)より、-6≦x＜0、1≦x・・・③
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求めるxの値の範囲は①②③の共通範囲なので、-1＜x＜0、1≦x＜10
ありがとうございます！わかりやすかったです！