Question

ゲゲスト

なぜこの手順で3点PQRは1つの直線上にあると分かるのでしょうか？

辺BCの中点をLとすると, 中点連結
定理により
PL//AB, 2PL=AB
線分CE の中点をMとすると, 中点
連結定理により
また
N
AAP
B
PM//AE, 2PM AE...... ②
Eは辺ABの延長にあるから, ① ②
より, PL と PM は同じ直線を表
線分EBの中点をNとすると,同様にして
QN//DE, 2QN=DE
(3)
QL // DC, 2QL=DC
4
RM//FC, 2RM=FC ・・・
5
RN//FB, 2RN=FB
6
E は辺 CD の延長にあるから, ③, ④より, QN と QL は同じ
直線を表し,Qは直線 NL 上にある。
F は辺BCの延長にあるから, ⑤, ⑥ より RM と RN は同じ
直線を表し、R は直線 MN 上にある。
△EBCと直線 AF について, メネラウスの定理により,
BF CD EA 2RN2QL 2PM
FC
DE AB 2RM 2QN 2PL
=
-M
D
=1
は直線LM上にある。
=
R
C
MP LQ NR
すなわち
=1
PL QN RM
よって, メネラウスの定理の逆により, 3点P, Q, R は 1つの
←△ABCにおいて, 中
点連結定理を適用。
中点2つで
平行と半分
←△ACE において, 中
点連結定理を適用。
←③: ABDE,
4: ABCD,
5: ACFE,
6: ABFE
において, 中点連結定理
を適用。
← ①~⑥のそれぞれに
おける, 線分の長さに関
する等式から。
←この1つの直線をニュ
E

右の図のように, 四角形 ABCDの辺AB, CD の延長の交点をEとし
辺AD, BC の延長の交点をFとする。 線分 AC, BD, EF の中点を
それぞれP, Q, R とするとき, 3点P, Q, Rは1つの直線上にある
ことを証明せよ。
(ニュートンの定理)
B
A
ID
R
F