Question

皐月

数I 二次関数の問題です。
問題と答えを載せたので、解き方を教えて頂けると助かります🎍

B clear OU
200αは定数とする。 関数 y=x²-4x+3 (a≦x≦a+1) の最大値を求めよ。

[3] -3<a のとき
この関数のグラフは
図 [3] の実線部分で
ある。
よって, yはx=q で
最小値α 2 +6a+5を
とる。
[1]~[3] から
a<-5のとき
[3]
x=a+2で最小値α ² + 10a + 21
-5≦a≦-3のとき
x=-3で最小値-4
-3 <a のとき
x =α で最小値α ² + 6a +5
-3 a
200
■■指針■■■
放物線 y=x2-4x+3は下に凸で , 軸は直線
x=2である。 x=αのときのyの値y と,
定義域の中央の値は
x=a+1のときのyの値y2の大小によって, 最
大値をとるxの値が変わることに注意。 y=yz
となるのは,軸の位置が定義域の中央にくる場
合であるから,次のように場合分けをする。
[1] at 1/12 <2 [2] 4+1/21=2 [3] 2<a+1/2/2
y=x2-4x+3を変形すると
y=(x-2)²-1
よって、この放物線の軸は直線x=2, 頂点は
点 (2,-1) である。
また, x=α のとき
y=a²-4a+3
x=a+1のときy=a²-2a
1
a+²2
10
3
[1] a +
a+1/12 <2 すなわちa</2/27 のとき
x
a+2
[2] 4+1/2=2 すなわちa=
a+
1=-2/20 のとき
この関数のグラフは図 [1] の実線部分である。
よって,yは
x=αで最大値α²-4a+3
をとる。
軸は定義域の中央にあり、x=a と x = a +1 に
おけるyの値が一致する。
この関数のグラフは図[2] の実線部分である。
よって、yはx=12/12 1 で最大値-- 22 をとる。
35
[1]
O
-1
[1]~[3] から
a+1/
Jay
3
</1/2のとき
a<.
3
a=12/2のとき
1 解答編
[3] 2 <a+1/23 なわち 01/28aのとき
この関数のグラフは
[3]
八
[204 図 [3] の実線部分であ
る｡
よって, yはx=a+1
で最大値α²-2aをと
る。
x
7
ここで, -1/23
[2]y1
をとる。
35
x=2¹2
0
3
14
よって, y=f(n) のグ
ラフは右の図のように
なる。
O
-1
= -2.3...
a 2
f(n)=-3n²-14n+6
a+
x =α で最大値 α²-4a+3
a 2
で最大値 -
3
<a のとき x=a+1 で最大値 α2−2a
2
a+1;
201 まず,nを実数として, y=f(n) のグラフを
考える。
14
=-3(n²+1 n) +6
= -3{ (+)²-(3)] +
=-3(x+3)² +67
3
3
a+1
2x 400
f(-2)=-3.(−2)²-14 (-2)+6=22
53
であるから, -1/23 に最-3
も近い整数は -2
したがって, nが整数のとき, f(n) はn=-2
で最大値
-49
n
数学Ⅰ
問題

Answer 1

✨ ベストアンサー ✨

ねぎ

平方完成するとこの2次関数のグラフの軸は直線x=2であることが分かります。
下に凸のグラフの場合、最大値を求めるには軸が定義域の中央より左か、重なるか、右か(重なる場合はどちらかに含めることが多いです)で場合分けします。

問題の関数をy=f(x)とすると、
(i)2<a+1/2（定義域の中央より軸が左側）
のときの最大値はf(a+1)
(ii)2=a+1/2（定義域の中央が軸と重なる）
のときの最大値はf(a)=f(a+1)
(iii)a+1/2（定義域の中央より軸が右側）
のときの最大値はf(a)

(ii)のときは具体的なaの値が求まりますね。
最大値をとりうるxの値が、(ii)の場合は2つになるので、このように場合分けしてるわけですが、先程も言った通り(ii)を(i)または(iii)に含めてしまっても問題はないかと思います。3通りに場合分けした方が丁寧とは言えますがね^^

それぞれ図を書くと状況が分かりやすくていいですよ！

何か分からないことがあれば聞いてください。

ねぎ

訂正
(iii)a+1/2<2

皐月

あの、質問なのですが、
この問題の解答の初めの方に、“x＝aのとき”とか“x＝a+1のとき”とかの式が書かれていますが、
何のためにx＝aの時の式とか、x＝a+1の時の式を求めているんでしょうか？

よく分からん事を聞いてすみません

ねぎ

3通りに場合分けしたと思いますが、f(a)やf(a+1)が複数回登場するので、いちいち計算するのを避けるために先に計算しているだけですよ！

皐月

そういうことなんですね〜！！はあ〜〜〜！
ありがとうございます！！
良いお年をお迎えください〜！🎍