Question

sooooo

数II 式と証明
重問の36番です。自分の解答が合っているか教えていただきたいです。間違えていたらなぜだめなのか説明が欲しいです。

必解 36. 〈等式の証明〉
実数x≧0、y≧0, z≧0に対して x+y2=y+z=z+x2 が成り立つとする。この
とき x=y=zであることを証明せよ。
[18 札幌医大医]

=0+6×3=-1+2.22
3
236₁ X=Y=Z
w³²€ ₂X= x+y²₂ Y=y+Z²₁ (Z = Z+7²³²) 251²²0
=h₁z X-Y = 0 / X+Y²_Y_Z ²0 < (Y+Z) (Y-Z ) + (x-Y) = 0
=
ことにy+20またはy=Zかつdy
#
y≧0、Z=0より g+Z=0のときy=0、Z=0 これはy=Zに含まれる。
よってy=Zかった=yしたがってたy=z

指針 36 〈等式の証明 〉
3つの等式を変形し、辺々を掛けることで(x-y) (y-z) (z-x) = 0 を導く。
x+y2=y+z2 から
y+z=z+x2 から
z+x2=x+y2 から
①,②, ③ を辺々掛けて
(x-y) (y-z) (z-x)=(z+y)(z-y)(x+2)(x-2)(y+x)(y-x)
すなわち
x-y=(x+y)(z-y) ...... ①
y-z=(x+z) (x-2) ②
=(y+x)(y-x)
3
z-x=
(x-y) (y-z) (z-x)
x=y=z
y=z, z=xのときも同様にして
......
{1+(y+z)(z+x)(x+y)}=0
1+(y+z) (z+x)(x+y)≧1
x≧0、y≧0, z≧0であるから
ゆえに
(x-y) (y-z) (z-x) = 0
よって
x=y または y = z または 2=X
ここで, x=y のとき, ③に代入して z-x=0
よって
x=y=z
@
←z-y=-(y-z),
x-z=-(z-x),
y-x=-(x-y)から、
辺々を掛けた等式は因数分
解できる。
したが
さら
よ
指針

重問 数ii 等式の証明

Answer 1

✨ ベストアンサー ✨

しゅわっちい

写真の黄色下線部の部分がまずいと思います。
X、Y、Zの大小関係に関係がわからないのでY－ZとX－Ｙの符号は正も負もありえます。
なので例えばX＝4、Ｙ＝1、Z＝２のとき
(Ｙ＋Z)(Ｙ－Z)＋(X－Ｙ)＝0
(1＋２)(1－２)＋(4－1)＝0
と満たされます。

もし、X－Ｙ≧0、Ｙ－Z≧0が条件で与えられていたら
(0以上)＋(0以上)＝0
となるには両方の( )がともに0である、と言えます。

今回は正＋負＝0の可能性もあるのでだめです。

なので足し算の形ではなく、積の形にして考えるのがいいと思います。

sooooo

カッコの中身が0になればいいとばかり考えていました。
左辺全体で0になるからそうとは限らないんですね…
理解できました、ありがとうございます。

そしてさらに違う部分で質問ができてしまって、別解の最後の1文『〜のときも同様にして〜』はなぜ書く必要があるのでしょうか？その前の1文でx=y=zと出せたから証明終わりだと思ったのですが…再度すみません。

sooooo

↑別解ではなく解答(3枚目の写真)です。

しゅわっちい

必要十分であることを言うためだと思います。
A⇒Bが言えたからと言って、B⇒Aとは限らないのは大丈夫ですかね？？
両方言えて初めて常に成り立つと言えます。
今回はA、B、Cと3つについて言う必要があるので
A⇒B、C
B⇒C、A
C⇒A、B
を言う必要がありますが、残り2個は同じやり方なので同様にして、と片付けています。

sooooo

わかりました、最後まで丁寧にありがとうございました🙇‍♀️

しゅわっちい

いえいえ、今更ですが黄色下線部とか言って写真載せるの忘れてました、申し訳ありません😅

お役に立てて良かったです！頑張ってください🔥