5 関連発展問題
演習 例題 41 方程式の解と複素数平面
000
>1のとき、xの方程式 ax-2x+a=0
①の2つの解をα, B とし,xの
方程式x^2-2ax+1=0 ②の2つの解をx, 8 とする。 A (ω), B (B), C(y),
D (8) とするとき, 4点A, B, C, Dは1つの円周上にあることを証明せよ。
〔大阪大〕
指針 ① ② の判別式をそれぞれ Di, D2 とすると, α>1 から Di < 0,
D20 となる。 よって,α, βは互いに共役な複素数であり, Y,
は実数である。
よって,α, βは互いに共役な複素数であり, , 8 は実数である。
ゆえに,C,Dは実軸上にあり, 線分 CD の中点 M を表す複
r+8
2a
素数は
778-29-0
このことに注意して図をかくと右のようになり 2点A, B
は実軸に関して対称である。 よって、 円の中心は実軸上にある
と考えられ, 2点C, Dも実軸上にあるから線分 CDの中点Mが円の中心ではないか
と予想できる。 そこで, MA=MB=MC=MD を示すことを目指す。
=a
D(8) M
2
a
B=a とすると,解と係数の関係から ata=202,a=140
よってMA²=|α-af²=(a-a)(a−a)=aa-a(a+α)+q²
=1-a² + a²=a²³_1
a
解答
① ② の判別式をそれぞれ D, D2 とすると, α>1から
D1
4=(-1)-a*a=1-4°<0, 2=(-a)^-1・1=-1>0①は異なる2つの虚数解
② は異なる2つの実数解
をもつ。
| ゆえに MA=√²-1 同様に MB=|-al=√²-1
また CD²=(-x)=(y+82-478=(2a)²-4・1=4(α²-1)
よってCD=2√²-1 ゆえに MC=MD=√²-1
したがって, 4点 A, B, C, D は点 αを中心とする半径
²-1の円周上にある。
A(a)
実軸
; C(₂)
B(8)
② において、 解と係数の関
係。
検討 ① ② を解いて
が実数になる
B-YB-8
a-ra-8
ことを示してもよい (前ペー
ジの (*)を利用)。
4つとも10
② において, 解と係数の関
係。
点M(α)が円の中心｡
なるほど！
理解出来ました！
本当にありがとうございました🙇🏼♀️