Question

wonwoo

数学IIIの積分です。左は展開せずに公式で答えを出していますが、右側は展開しています。なぜ、左は公式を使っていないのでしょうか？教えてください。

3) (x² + 5) ²7² dx
-3) (x³15)² (X²+5) 10
dx
T(2²+5) ³dx
10+ 10 2³ + 25 joh
7x7
+
X
flax + l) dx = $3.
S (2³+5) ² da
+ 25x + G
C
2X² + 26x
+ (x³ + 5)³ + C

(5) |sin®xdx=sin^rsin xdx
=|(1−cos°x)’sin xdx
cosx =t とおくと
-sin xdx=dt
よって
|sin®xdx=-|(1_t)łdt
= -√ (t¹_2t² + 1)dt
-=//t
3
+ -t³ _ t + C
12/31
11-
2
5
3
=-=-cos²x+cos³x
cos³x - cos x +C
3

不定積分 サクシード 計算の仕方

Answer 1

✨ ベストアンサー ✨

和

公式というのは合成関数の積分の公式
∫f(g(x))g'(x)dx = F(g(x))です

左は公式が使える形ですが右は使えない形だからです
なぜあなたは両方同じ形に見えたかというと、
左の公式の使い方を勘違いしているからです
青字赤字で書いてあるのは間違いです

左は3∫(x³+5)²x²dxで、これをあらかじめ
∫(x³+5)²・3x²dxと変形しておきます
するとこれは上の公式の
f(x)がx²、g(x)がx³+5としたものです
（このときg'(x)は3x²です）
したがってこれは(1/3)(x³+5)³+Cとなります

(x³+5)²のうしろにx²という、
中身x³+5を微分したもの（に近いもの）がかかっているから、
このように上の公式を使って積分されるのです

右の(1-t²)²の方は、
中身1-t²を微分したもの-2tがかかっていないので、
上の公式が使えません

wonwoo

確かにそうですね！はっとしました。
和さんの方法(正しい方法)だと全てがスっと入ってきました。
ありがとうございました！

Answer 2

名前なににしyo

なぜ「右」は公式を使っていないのでしょうか？という意味でよろしいですか？

結論、使ってもばつではないと思います。しかし、右は置換積分となっていて、三角関数を最後に代入する形となっていますので、展開した方が形としては綺麗ということではないでしょうか

wonwoo

お答えいただきありがとうございました！