Question

ゆうき

この(※)の式の意味がわかりません。
なぜm-1次式になるのでしょうか。
教えて下さい🙇‍♀️

n
k=1
2
n
k=1
k=1
3 の導き方の背景」
22
p.482 のまとめ 2の注》では、②1/n(n+1)(2n+1),
k=1
£k²={{{n(n+1)}* **<, (k+1)³−k², (k+1)'—kª Æmulte.
を用いた.
では、なぜその発想が出てきたのだろうか.
「f(x) をxのm次式としたとき, f(x+1)f(x)はxの (m-1) 次式になる」
「Σ{f(k+1)-f(k)}={f(2)- f(1)}+{f(3)-F(2)}+..+{f(n+1)-f(n)}
=f(n+1)-f (1) となる」 ...... (☆)
S 81
たとえば, 数列{an}のak がんの2次式の場合,
(*)の考えから、3次式f(x) を用いると α=f(k+1)f(k)…① とおげ、
n
(☆)から, as = 2(f(k+1)-f(k)}=f(n+1)f(1)
・･② となる.
k=1
k=1
そこで, f(x)=x" とすると,②は,
n
k=1
の他
①の
そこで､
てみよう.
①は,
つまり
これを
3p
よって.
つまり
よって
n
Σ
k=
となる.

Answer 1

✨ ベストアンサー ✨

あ

f(x)をxのm次式とした時、
f(x)＝ax^m＋bx^(m-1)＋…＋c•••①と表せる。

関数f(x)•••①の(x)の所に(x＋1)を代入すると、
f(x＋1)＝a(x＋1)^m＋b(x＋1)^(m-1)＋…＋c•••②となる。
f(x＋1)−f(x)
＝②−①
＝{ax^m＋bx^(m-1)＋…＋c}
　−{a(x＋1)^m＋b(x＋1)^(m-1)＋…＋c}
コレを計算すると、
最高次のax^mが消えてしまい次数が減ってしまいます。
_____________________________________________
例を出してみると、
f(x)をxの2次式とした時、
f(x)＝ax^2＋bx＋c•••①と表せる。

関数f(x)•••①の(x)の所に(x＋1)を代入すると、
f(x＋1)＝a(x＋1)^2＋b(x＋1)＋c•••②となる。

f(x＋1)−f(x)
＝②−①
＝(ax^2＋bx＋c)− {a(x＋1)^2＋b(x＋1)＋c}
＝-2ax-b
↑(xの1次式)

こんな感じで最高次が一つ下がる。

ゆうき

なるほど！ありがとうございます！