✨ ベストアンサー ✨
(ベクトルを全角でかきます)
質問に書いてある条件は誤っていますが、
ｐ=(1-t)ａ+tｂでａ,ｂが1次独立なときPはABをt:1-tに内分する点になります。tが1より大(t-1が負)ならt:t-1に外分する点というように理解できますね。
これはＯＡ=ＯＡ+ＡＰとしてＡＰベクトルをそれぞれ内分、外分の定義にしたがってtとＡＢを用いて表せば確認(証明)できます。
点Pというのは負の範囲も含めて、ABをt:1-tに内分する(あるいは分けるという表現がわかりやすいかも)点の集合なわけだから、当然それは直線ABになります
斜交座標についても触れていますが、ベクトルの基本的でとても大事な性質として1次独立な2ベクトルａ,ｂと適切な実数s,tをつかって、任意の2次元ベクトルがsａ+tｂというように表せて、s,tが一意に定まるということは問題なく理解できていますか？
この部分がわかっていれば今回の質問も直感的にも理解しやすいと思います。
誤字失礼しました。どちらも訂正の通りです。
内分の定義と書いたのは、ABをm:nに内分する点PとはAP:PB=m:nで、なおかつPは線分AB上というものです。ここからベクトルで考えるとＯＰ=ＯＡ+m/(m+m)ＡＢ。あるいはさらに変形してＯＰ=(nＯＡ+mＯＢ)/m+n……[※]とできますね。
今回はm=t,n=1-tとしているので分母がちょうど1になります。
外分も同様です。
今回のケースでいくと、ここから②に書いてる通りＯＰ=ＯＡ+tＡＢにつながるというながれですね
tが全ての実数をとるとき、Oから見て、Aを通ってＡＢのt倍を足すということで、直線になってることがこの式からでも読み取れるかと思います
②について追記すると、m:-nに内分というのをm:nに外分と解釈することによって[※]の式からABを負も含めてt:1-tに内分した点がP(ｐ=tａ+(1-t)ｂ)と言えます。(当然ここではPが直線AB上にあるということは用いていません)
例えばt=-2なんかを考えてみると-2:3に内分、すなわち2:3に外分なのでPはABを左(A)の方に2倍ぶん伸ばした位置だと分かりますよね。これを全てのtで行ったものの集合なので、直線となるということです。
ＯＰ=ＯＡ+mＡＢ/(m+n)です
なるほど。
「②について追記すると、m:-nに内分というのをm:nに外分と解釈することによって[※]の式からABを負も含めてt:1-tに内分した点がP(ｐ=tａ+(1-t)ｂ)と言えます。」
正:正内分→内分 正:負又は負:正内分→外分
と解釈することで直線になっているんですね。
確かに教科書にも内分の公式のnを-nに置き換えて
外分の公式になると表記されていました。
とても分かりやすくて助かりました。
丁寧に説明して頂きありがとうございます😊
点Pというのは負の範囲も含めて、ABをt:1-tに内分する(あるいは分けるという表現がわかりやすいかも)点の集合なわけだから、当然それは直線ABになります→理解しました。ありがとうございます。
斜交座標についても触れていますが、ベクトルの基本的でとても大事な性質として1次独立な2ベクトルａ,ｂと適切な実数s,tをつかって、任意の2次元ベクトルがsａ+tｂというように表せて、s,tが一意に定まるということは問題なく理解できていますか？
→大丈夫です。
①この部分がわかっていれば今回の質問も直感的にも理解しやすいと思います。
→①の上記の質問は大丈夫なのですが
①が分かりませんでした。教えて欲しいです。
②ｐ=(1-t)ａ+tｂでａ,ｂが1次独立なときPはABをt:1-tに内分する点になります。tが1より大「(1-tが負)」ならt:t-1に外分する点というように理解できますね
→↑OP＝↑OA+t↑ABよって↑AP＝t↑AB
よってt<0 t>1の時写真(外分点)のようになる
という考え方でも問題ないですか？
③これは「OP」=ＯＡ+ＡＰとしてＡＰベクトルをそれぞれ内分、外分の定義にしたがってtとＡＢを用いて表せば確認(証明)できます。
→内分外分の定義というのは公式ですか？
③の部分が分かりませんでした。
教えて欲しいです。
④「」の部分勝手に訂正してしまったのですが
間違えていたら教えて欲しいです。