Question

るい

（ウ）のとこがわからないです。解説お願いします🙏

練習
9 17
(4)
複素数 α = COS
2
7/7r-
2
risin に対して
7.
62₁
1
1-a
(1) (7) a+a²+a³+a+as+aº
(ウ) (1-α) (1-α²) (1-²) (1−ω^) (1-α) (1-α)
七
43 42
2+ の値を求めよ。
+
1
1-a6
の値を求めよ。
(p.40 EX18

Answer 1

✨ ベストアンサー ✨

きらうる

x⁷＝1の解はx＝1,z,z²,z³,z⁴,z⁵,z⁶より、
X⁷-1＝(x-1)(x-z)(x-z²)(x-z³)(x-z⁴)(x-z⁵)(x-z⁶)…①

x⁷-1＝(x-1)(x⁶+x⁵+x⁴+x³+x²+x+1)…②
とも因数分解できるので、①②から
(x-z)(x-z²)(x-z³)(x-z⁴)(x-z⁵)(x-z⁶)
　＝(x⁶＋x⁵+x⁴+x³+x²+x+1)

x=1を代入して、
(1-z)(1-z²)…(1-z⁶)＝1+1+1+1+1+1+1＝7

るい

x^7=1の解が一文目になるのはなぜですか？
あと最後にx=1を代入するのはなぜか教えてほしいです🙏

きらうる

解答のzはαでした。すみません。

＞x^7=1の解が一文目になるのはなぜですか？
ドモアブルの定理から、
α⁷＝1　となるのは良いかと思います。
ここで、x＝αが解となるようなxの方程式は
x⁷＝1　と書けます。
この式にx＝α²を代入すると
(α²)⁷＝1　→　(α⁷)²＝1　となり、
等式が成立するのでα²が解であることが言えます。
同様に、x＝α³を代入すると
(α³)⁷＝1　→　(α⁷)³＝1　となり、
等式が成立します。α⁴、α⁵、α⁶も
同様に成立するので、
α、α²、α³、α⁴、α⁵、α⁶は
x⁷＝1の解であると言えるのです。
よって、x⁷-1を因数分解すると
(x-1)(x-α)(x-α²)(x-α³)…(x-α⁶)
と因数分解できるのです。

＞　あと最後にx=1を代入するのはなぜか
今回の問題は、
(1－α)(1-α²)…(1-α⁶)
を求めるのですよね。だったら、①にx＝1
を代入することで式ができます。

いかがでしょうか。

一応図的なαも示しておきます。
α＝cos(2/7)π+isin(2/7)π　におけるαは、
偏角(2/7)π、原点との長さが1の点です。
また、α²～α⁶は、ドモアブルの定理から
α²＝cos(4/7)π+isin(4/7)π
α³＝cos(6/7)π+isin(6/7)π
α⁴＝cos(8/7)π+isin(8/7)π
α⁵＝cos(10/7)π+isin(10/7)π
α⁶＝cos(12/7)π+isin(12/7)π
となり、写真のような単位円上の点を表します。
(写真のz＝αとしてください)

るい

理解できました！ありがとうございます😊