Question

G

合成関数についてです。
(2)の別解に書かれているh(x)=(g。f^-1)(x)
なのですが
何故h(x)=(g。f^-1)(x)になるのか教えて欲しいです。
合成関数を解く時右上の図をイメージしなければ
ならないのでしょうか？
(右上の図なくても解けるような気がするのですが、)

例題 128 合成関数
O
(1) f(x)=3x+1,g(x)=2x²-2(x)=xのとき,次の合成関数
を求めよ.
(ア) (fog) (x)
(イ) ((fog) oh)(x)
(2)関数f(x)=x+2,g(x)=3x-4 がある. (hof)(x)=g(x) となる
関数h(x) を求めよ.
Check
考え方 合成関数は順序を間違えないように注意しよう.
(1)()((fog)。h)(x) は, fog=F と考えると,
(F.h)(x)=F(h(x)) となる.
(2) y=f(x) とおいて,yを上手く利用する .
つまり, (f)(x)=h(f(x))=h(y) となる.
(または、右のように f(x) の逆関数f-1 (x)
を用いて考えてもよい)
UNMA
解答 (1)()(fog)
Focus
(x)=f(g(x))=f(2x2-2)
=3(2x²-2)+1=6x²-5
(イ) ((fog)。h)(x)=(f°g)(h(x))
2
24
=(f.g)(²₁)=6(+²₁) ²-5 = (x²-1²-5
(21)
x
(2) y=f(x) とおくと, (hof)(x)=h(f(x))=h(y)
したがって, (hof) (x)=g(x) より,
(y)=g(x)=3x-4 ..1
また, y=f(x)=x+2 より, x=y-2
これを①に代入すると, h(y)=3(y-2)-4=3y-10
よって,
h(x)=3x-10
(別解) f(x)=x+2 より,
f-1(x)=x-2
PLM
(hof) (x)=g(x)より,
h(x)=(gof-1)(x)=g(f-1(x))
=3(x-2)-4=3x-10
合成関数 (gf) (x)=g(f(x))
**
h?
00:0
h?
30€
(f°g) (x) は(ア)の結
果を利用する.
y=f(x) とおいて
まずh (y) を求める.
(h(y) をxの式で表
す。
h:y-
3y-10
より, yx を代入す
ればん(x) が求まる.
y=x+2 とすると,
x=y-2より,
|-1(x)=x-2
→
例題128 (2) でん (x)=3x-10 のとき,
(hof)(x)=h(f(x))=3(x+2)-10=3x-4=g(x) となり,題意を満たしている.
第4章

Answer 1

✨ ベストアンサー ✨

AZ

h◦f=g
両辺にf⁻¹を「右から」かけて
h=g◦f⁻¹

G

回答ありがとうございます😊
何故両辺にf⁻¹を「右から」かけて
h=g◦f⁻¹になるか分かりませんでした。
詳しい説明欲しいです。

AZ

h◦f=g
両辺にf⁻¹を「右から」かけると
h◦f◦f⁻¹＝g◦f⁻¹
ここで,f◦f⁻¹＝f(f⁻¹(x))=xより
h◦f◦f⁻¹＝h(f(f⁻¹(x)))=h(x)=hなので
h=g◦f⁻¹　となります.
f,g,hは本来f(x),g(x),h(x)と書くべきですが,簡略化のため,省略しています.
「右から」と言ったのは,上の場合,交換法則
つまり
f◦g=g◦fが一般には成り立たないからです.

G

分かりすい丁寧な解説ありがとうございます🙇
Residueさんのご説明をまとめると
(h。f)(x)=g(x)
h(f(x))=g(x)
xをf^-1(x)とおくと
h(f(f^-1(x)))=g(f^-1(x))
h(x)=(g。f^-1)(x)となるという事ですか？

AZ

そのような解釈で大丈夫です.

G

ありがとうございました🙇