Question

なずな

漸化式の問題です。(2)を教えてください。

4 次の漸化式で定められる数列{an}の一般項を求めよ.ただし, n=1, 2, 3,
(1) a1=2, an+1=2an+2"
(2) a1=3, an+1=-3an+6"
..とする.
1.63

Answer 1

✨ ベストアンサー ✨

きらうる

全体を6ⁿ⁺¹で割ります。
このとき、anの項には、6×6ⁿと分解して割ります。

a[n+1]/6ⁿ⁺¹＝(-3/6)×(a[n]/6ⁿ)+6ⁿ/6ⁿ⁺¹
→　a[n+1]/6ⁿ⁺¹＝(-1/2)×(a[n]/6ⁿ)+1/6

a[n+1]/6ⁿ⁺¹＝b[n+1]、a[n]/6ⁿ＝b[n]　として、
→　b[n+1]＝(-1/2)b[n]+1/6

あとはわかりますかね。

なずな

ごめんなさいそこからが分からないんです。

きらうる

b[n+1]＝(-1/2)b[n]+1/6
特性方程式から、
α＝(-1/2)α+1/6
→　6α＝-3α+1
→　α＝1/9　より、
(b[n+1]-1/9)＝（-1/2)(b[n]-1/9)

a₁＝3から、
b₁＝a₁/6¹＝1/2　
b[n]-1/9は初項1/2-1/9＝7/18、公比-1/2の等比数列から

b[n]-1/9＝(7/18)(-1/2)ⁿ⁻¹
→　b[n]＝(7/18)(-1/2)ⁿ⁻¹+1/9
→　a[n]/6ⁿ＝(7/18)(-1/2)ⁿ⁻¹+1/9
→　a[n]＝(7/18)(-1/2)ⁿ⁻¹×6ⁿ+6ⁿ/9
→　a[n]＝-(7/9)(-1/2)ⁿ×6ⁿ+6ⁿ/9
→　a[n]＝-(7/9)(-3)ⁿ+6ⁿ/9

なずな

ありがとうございます分かりました！！！