Question

jpgamw

このようなときなぜ、An+1とAnをαという同じ記号で表せることが出きるんですか？
値が違うから同じ記号ではダメなのかと思ったのですが、、、
よろしくお願いします🙇

Approach の漸化式 an+1-1=5(an-1)
を展開して整理すると、次のようになる。
an+1=5an-4
よって、②の漸化式を満たす数列は、 ①の形に変形することで一般項を求めることができる。
そこで、②に対して、 等式
a=5a-4 ......3
とをαにおき換えた等式
を満たすαを考える。 このとき,
an+1=5am-4
-) a =5a-4
at-α=5(an-α) i
② ③ より an+1-α=5(an -α)
③からαを求めると, α=1であるから、②は,
と変形できる。
an+1 -1=5(an − 1)
an+1=pan+q
*-)a=pato
an+1-α=plan-α) 1
一般に,p, qが0でない定数でp≠1のとき, 漸化式 an+1=pan + q は, a = pa+qを満た
すαを用いて次の形に変形することができる。
an+1-α=plan-α)
このことを利用して,次の問題を考えてみよう。

例題15
次のように定められる数列{an}の一般項を求めよ。
a1=6, an+1=3an-4

Answer 1

✨ ベストアンサー ✨

さつき

扱いやすいような等式を作っているだけであって、上の式を文字で表しているわけではありません。最初の式から扱いやすい等式を引いて、新しくわかりやすいように直しているのです。

jpgamw

回答ありがとうございます。
すみません🙇
ではなぜその等式が成り立つと分かるんですか？
よろしくお願いします。

さつき

一次方程式なので解なしにはなりません。必ず成り立つ式になるはずです。

jpgamw

返信助かります！
何回もすみません。
一次方程式だからといって、今添付したようにαに3代入したらできないと思うんですが、、
よろしくお願いします。

さつき

一次方程式には必ず解があり、必ず成り立つ、というだけでどのような数字を代入しても良いという訳ではありません。

さつき

解の数字を入れれば必ず成り立つはずです

jpgamw

ありがとうございます！何でも成り立つというわけではないんですね。
一番初めに載せた写真の7行目には置き換えた式と書いてあるんですが、どうして置き換えれたんですか？
ほんとにすみません。よろしくお願いします🙇

さつき

anとan＋１をaに置き換えた場合の一次方程式を作っています

jpgamw

返信ありがとうございました。
扱いやすいような等式を作っているだけであって、上の式を文字で表しているわけではありません。
そうすると、置き換えるのでなぜ表していないんですか？
何回も申し訳ないです🙇

さつき

新しい式を作っているのであって、上の式を書き換えている訳では無いということです。その新しい式を置き換えによってつくる、ということです。

さつき

こちらこそ、わかりにくくて申し訳ございません🙇‍♀️

jpgamw

ありがとうございます！
いえいえ！！授業で疑問に思っていたことが理解でき助かります🙇
そういうことだったんですね！
ではこういう問題の時はいつでもαに置き換えて解けばいいんですね🙋
ありがとうございました。