Question

Golden Temple

なぜ関数①が条件を満たすことを示さないといけないのですか？教えてください！

応用
例題
3
解
関数f(x)=x+ax2+bx-2 がx=-1で極大値をとり, x=3
で極小値をとるように,定数a, bの値を定めよ。 また,極値
を求めよ。
解説
関数f(x) x=-1, x=3で極値をとることからf'(-1)=0,
f' (3) = 0 である。 a, b の値を求めてから, x=-1, x=3の前後で
f'(x) の符号が変わることを確かめる。
与えられた関数を微分すると
x=-1, x=3で極値をとるから
よって
3-2a+b=0,
これを解くと
a=-3,6=-9
ゆえに
逆に,関数 ① が条件を満たすことを示す。
f'(x)=3x²-6x-9=3(x+1)(x-3)
x=-1,3
xC
f'(x)
f(x)=x-3x2-9x-2 ...... ①
f'(x)=0 とすると
関数 ① の増減表は次のようになる。
f(x)
+
f'(x)=3x²+2ax+b
f'(-1)=0, f'(3)=0
27+6a+b=0
したがって 関数 ① は
-1
0
極大
3
をとり,条件を満たす。
......
-
3
20
極小
- 29
+
x=-1で極大値3,x=3で極小値-29
a=-3,b=-9;極大値 3,極小値-29
1

および極大・極小

Answer 1

ブドウくん

写真のようにf'(a)=0だからといって、f(x)が必ずx=aで極値をとるとは限らないからです。数学のことばでいうと、f'(a)=0は、f(x)が必ずx=aで極値をとることの必要条件ではあるものの、十分条件ではありません。

ブドウくん

だから、この質問への解答は、「同値性を確かめるため」です。極値の定義を見直しておいてください。それから、軌跡のところでも同じような逆の確認が出てきたので忘れていたらそっちも復習してみてください。

Answer 2

Rei

必要十分条件って知ってますか？