Question

理科教

進研模試の過去問です。(1)は解けたのですが(2)(3)が全くわからないです(>_<)
解説と回答お願いします

B3 △ABCがあり, AB=11, BC=9, CA=4である。
(1) cos ∠ACB の値を求めよ。
9√2
(2) 辺BCのCの側の延長線上に点Dを△ACDの外接円の半径が
4
となるようにと
る。このとき,線分 AD の長さを求めよ。 また,線分 CDの長さを求めよ。
(3) (2) のとき、辺ACを折り目として△ACD を折り曲げ, BD = CD となるようにする。
このとき、四面体 DABC の体積を求めよ。
(配点20)
1.4.
ach

三角比

Answer 1

✨ ベストアンサー ✨

えだまめ🫛

(1)
余弦定理より
cos∠ACB
= (9²+4²-11²)/(2･9･4)
= (81+16-121)/72
= -24/72
= -1/3

(2)
cos∠ACD
= cos(180°-∠ACB)
= - cos∠ACB
= 1/3

sin∠ACD = √(1-1/3²) = 2√2/3

△ACDにおいて正弦定理より　
2R = AD/sin∠ACD

⇒ 2×9√2/4 = AD/ (2√2/3)
⇒ AD = 9√2/2 × 2√2/3
⇒ AD = 6

△ACDにおいて余弦定理より
6² = 4²+CD²-2･4･CD･1/3
⇒ CD² - 8/3･CD -20 = 0
⇒ CD = {8/3 ±√(64/9 + 80)}/2
⇒ CD = 4/3 ±√(16/9 + 20)
⇒ CD = 4/3 ±√(196/9)
⇒ CD = 4/3 ±14/3
⇒ CD = 6 (CD>0)

(3)
Dから△ABCへ垂線を下ろして交点をHとすると
AD = BD = CD = 6より
Hは△ABCの外心に一致する

△ABCの外接円半径をrとすると
正弦定理より
2r = AB/sin∠ACB
⇒ 2r = 11/sin(180°-∠ACD)
⇒ 2r = 11/sin∠ACD
⇒ 2r = 11/(2√2/3)
⇒ 2r = 33/2√2
⇒ r = 33√2/8

垂線DHは三平方の定理より
DH
= √{6²-(33√2/8)²}
= 3√{2²-(11√2/8)²}
= 3√{4 - (121/32)}
= 3√7

△ABCの面積Sは
S
= 1/2･AC･BC･sin∠ACB
= 1/2･4･9･2√2/3
= 12√2

四面体DABCの体積Vは
V
= 1/3･DH･S
= 1/3･3√7･12√2
= 12√14

理科教

ありがとうございます！