Question

サトウ

この漸化式の解き方を教えてください！
よろしくお願いします🙇‍♂️

A1 = 4₁ ant) = 4an-2ht!

数列 漸化式

Answer 1

✨ ベストアンサー ✨

mo1

参考・概略です

[Ⅰ]漸化式の変形

　a_(n＋1)＝4･a_(n)－2ⁿ⁺¹

　●両辺から、2ⁿ⁺¹を引いて

　a_(n＋1)ー2ⁿ⁺¹＝4･a_(n)－2ⁿ⁺¹－2ⁿ⁺¹　

　●右辺の整理【－2ⁿ⁺¹－2ⁿ⁺¹＝－2･2ⁿ⁺¹＝－2･2¹･2ⁿ＝－4･2ⁿ】

　a_(n＋1)ー2ⁿ⁺¹＝4･a_(n)－4･2ⁿ

　●右辺を4でくくる

　a_(n＋1)ー2ⁿ⁺¹＝4･{a_(n)－2ⁿ}

[２]数列 a_(n)－2ⁿ が、

　●初項 a_(1)－2¹＝4－2＝2
　●公比 4　の等比数列とわかり　　
　
　a_(n)－2ⁿ＝2･2ⁿ-¹

　●整理

　a_(n)＝2ⁿ＋2･2ⁿ-¹
　　　 ＝2ⁿ＋2ⁿ
　　　 ＝2･2ⁿ
　　　 ＝2ⁿ⁺¹

[３]簡易確認
　a₁＝2¹⁺¹＝ 4、a₁＝4
　a₂＝2²⁺¹＝ 8、a₁₊₁＝4･a₁－2²⁺¹＝4･4－8＝8
　a₃＝2³⁺¹＝16、a₂₊₁＝4･a₂－2³⁺¹＝4･8－16＝16
　a₄＝2⁴⁺¹＝32、a₁₊₁＝4･a₃－2⁴⁺¹＝4･16－32＝32　
　a₅＝2⁵⁺¹＝64、a₁₊₁＝4･a₄－2⁵⁺¹＝4･32－64＝64

サトウ

ありがとうございます！！！！