Question

🧸

数B数列の問題です。
各項を出してみても規則性を見つけられませんでした。
解説お願いします。

【1】nを正の整数とし, 数列{an} は初項1であり, 関係式
1
an+1=
Σak (n=1, 2, 3...)
m2+2nk=1
を満たすとする.また,正の整数nに対して,数列{S}を
S₁ = 2 ak
k=1
で定める.
(1) Sa+1 をnを用いて表せ.
Sn
Sn+1 (n+1
=
+1
Smn(n+2
(2) Snを用いて表せ.
3 n
an
Sn=
n+ 4
(3) am n を用いて表せ.
5
n(n+1 6

数列

Answer 1

✨ ベストアンサー ✨

きらうる

(1)
最初の式を式変形して、
(n²+2n)×a[n+1]＝Σa[k]＝S[n]

S[n+1]＝Σa[k]+a[n+1]　だから、

S[n+1]/S[n]＝(Σa[k]+a[n+1]]/Σa[k]
分子…(n²+2n)a[n+1]+a[n+1]
　　＝a[n+1]×(n²+2n+1)
　　＝a[n+1]×(n+1)²
分母…a[n+1]×(n²+2n)
　　＝a[n+1]×n(n+2)

よって、S[n+1]/S[n]＝(n+1)²/n(n+2)…①②

(2)
(1)の式を変形して
S[n+1]×(n+2)/(n+1)＝S[n]×(n+1)/n
とします。
S[n]×(n+1)/n＝R[n]…※とすると、
R[n+1]＝R[n]となるから、
R[1]＝R[2]＝…＝R[n]＝R[n+1]
R[1]＝S[1]×(1+1)/1＝2＝R[n]
つまり、※の式は、
S[n]×(n+1)/n＝2
→　S[n]＝2n/(n+1)…③④

🧸

丁寧な解説ありがとうこざいます‼︎
凄くわかりやすく理解できたのですが、
(3)を解こうとすると
a[n]=S[n]-S[n-1]=2n/(n+1)-2(n-1)/0と分母がゼロになってしまいます。a[n]はどの様に出せば良いのでしょうか。答えは2/n(n+1)です。

きらうる

S[n]-S[n-1]をするときですが、今回はマークなので良いですが、記述のときはn≧2と条件を付けてくださいね。

本題ですが、
S[n]-S[n-1]＝2n/(n+1)-2(n-1)/0　こうはなりません。

S[n-1]の分母ですが、
S[n]のときに、n+1なので、
S[n-1]のときには、nになります。
したがって、
S[n]-S[n-1]＝2n/(n+1)-2(n-1)/n

　通分して
　＝{2n²-2(n+1)(n-1)}/n(n+1)
　＝2/n(n+1)…⑤⑥

🧸

n見落としてました。
何度も丁寧にありがとうございます。
n≧2も気をつけます‼︎