Question

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整数と関数の問題です。
解き方を教えて欲しいです。

【3】 方程式x^²-3y^²=13 の整数解を求める。
簡単にするために,
x>0,y>0とする。
まず,
X=ax+by, Y=cx+dy... (*)
とする。 a,b,c,dを自然数として, (X,Y) が再び方程式
X2-3Y2=13
を満たすための組(a,b,c,d) を考える。 c=1 とすると,
(a,b,c,d) = (1,2,1,3)
次に解の組(x,y) について,組の1つには
(x,y)=(415, 6) がある。
また,他の解の組(x,y) のうち100<x<500 となる (x,y) を求めよ。
(x,y)= 6|7|8
9 | 10
3

Answer 1

✨ ベストアンサー ✨

mo1

参考・概略です

c＝1として、
Ⅹ＝ax＋by，Ｙ＝x＋dy　で
(ax＋by)²－3(x＋dy)²＝(a²－3)x²＋2(ab－3d)xy＋(b²－3d²)y²
●x²の係数から、a²－3＝1 で、a＝2
●xyの係数から、2b－3d＝0 ･･･①
●y²の係数から、b²－3d²＝－3　･･･②
①，②からb＝3，d＝2
以上から、{a，b，c，d}＝{2，3，1，2}

確認：Ⅹ＝2x＋3y、Ｙ＝x＋2yのとき
　　　Ｘ²－3Ｙ²＝(2x＋3y)²－3(x＋2y)²＝x²－3y²

y＝6として
Ⅹ＝2x＋18，Ｙ＝x＋12　で、Ⅹ²－3Ｙ²＝13　より
　(2x＋18)²－3(x＋12)²＝13
　4x²＋72x＋324－3(x²＋24x＋144)＝13　から、x＝11

確認：(x，y)＝(11，6)のとき
　　　Ⅹ＝2･11＋3･6＝40、Ｙ＝11＋2･6＝23で
　　　　Ｘ²－3Ｙ²＝40²－3･23²＝1600－3･529＝1600－1587＝13

(x，y)＝(149，86)，(220，127)

補足
(x，y)＝(4，1)，(5，2)，(11，6)，(16，49)，(40，23)，(59，34)
　　　　(149，86)，(220，127)，(556，322)，･･･

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ありがとうございます‼︎