616 第9章 平面
例題 351
交点の位置ベクトル(2)
△ABCにおいて, 辺AB を 2:3 に内分する点をP, 辺BCを3:1 に
内分する点をQ、辺ACを 2:1に内分する点をRとする. AB=1,
AC=čとして,次のベクトルを,こを用いて表せ.
(1) 直線 PQ と,辺 AC の延長の交点をSとするとき, AS
(2)直線PR と, 辺BCの延長の交点をTとするとき, AT
考え方 (1) 点 S は直線 AC 上にあるので, AS = s + tc と表したとき,s=0
(2) 点Tは直線 BC 上にあるので,AT=s6+ tc と表したとき,s+t=1
(1) PQ=AQ-AP
A
解答
AB+3AĆ — -—-—-AB
4
6+3c
3計+
P,Q,Sは一直線上にあるので,
PS=kPQ (kは実数)とおける.
AŚ=AP+PŚ=AP+kPQ .@ d
3
= /²/ b + k ( − 3b + ³ c ) = 8 -3² 7+3 kc
3k
20
20
で
にあるので,
8-3k
20
よって,
PAVEL
-=0 より,
AS=2c
(2) PR=AR-AP=C-26
P, R, T は一直線上にある
ので, PT=mPR (m は実数)
とおける.
AT=AP+PT
=AP+mPR
点Sは直線 AC 上
は平行ではなく,
k= 3/3
283
C-
3
B
2
B
5
=-1/2-6 + 3/2/20
C
R
より AT=12/2
==
S
Hbd
***
点Tは直線BC上にあるので, 1/3(1-m)+/3m=1
2
よって, m=22
QはBCを3:1に
内分
Pは AB を 2:3に
内分
点Sは直線AC上
にあるので, ASは
cだけで表せる.
△ABCと直線PS
でメネラウスの定理
を用いてもよい .
AP_BQ CS_=1
6 PB QC SA
CUST
まずは,APとア
ASを表す.
より,
2 3 CS
3 1 SA
CS 1
SA2
よって AS=2AC
(1-m)6+² m²
-=1
mmmm
和が1
メネラウスの定理を
用いてもよい。
