Question

数学婆婆

なぜ左辺は(2n+1)次式で右辺は(n+3)次式と表されるのてすか？

11. 整式f(x)がxについての恒等式
xf(x2-1)-5f(x)=(x+1)f(x-1)-2(x-1)f(x+1)-4x-29
を満たすとする.
(1) f(x) の次数を求めよ.
(2)
f(x) を求めよ.
(宮崎大改)

(iki) f(x) が定数のとき､f(x)=Cとおくと
与式は,
xC-5C=(x+1)C-2(x-1)C-4x-29
すなわち、
Cx-(3C+4)x-29+8C=0
となり, これがxについての恒等式とな
る条件は,
C=3C+4=-29+8C=0
であるが,これを満たす Cは存在しない
ので不適 .
() f(x) が定数でないとき. f(x) の次数
をn (自然数) とおくと, 与式の
左辺は (2n+1) 次式,
右辺は (n+3) 次式
となり,両辺の次数が等しいことより,
2n+1=n+3
つまり
n=2
以上 (i) と(茸)より, f(x) の次数は2.
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Answer 1

✨ ベストアンサー ✨

冒昧

右辺について、
f(x)がn次式→f(x^2)は2n次式
e.g.)f(x)=xは1次式 f(x^2)=x^2は2次式
xf(x)はn+1次式
e.g.)f(x)=x^3 xf(x)=x^4は4次式
であるので、
xf(x^2)は(2n+1)次式です。

左辺について、
f(x-1)はすべてn次式なので、係数にx^3のある(x^3+1)f(x-1)が、もっと言えばx^3f(x)が最も次数が高くなり、(n+3)次式になります。

数学婆婆

ありがとうございます。
お陰さまで理解できました。