Question

tkhsre

Iの公式が成り立つのは何故ですか？

a
2n-1
2n
2n
1. S²x²-¹dx=0, S²x²¹ dx=²ſ²x² dx
a
0
a
a
(n=1, 2, 3, ······)

Answer 1

あの

間違っていたので訂正しました🙇🏻‍♀️

まず、＝0になる方からです。
x^(2n－1)を積分すると、x^2n/2n となります。
これがaから－aまでなので、
a^2n/2n － (－a)^2n/2n となり、0になります。
2つ目は、左辺は－aからaまでの範囲です。
それを、右辺は0からaまでの範囲にしています。
aと－aはy軸に対称なので、範囲は1/2されています。なので、右辺に2をかけることで＝関係になります。

tkhsre

2つ目はわかりました。
1つ目のx^(2n－1)を積分するとなぜx^2n/2nとなるのですか？x^2n/2n＝x^1となり、指数の部分は約分されませんか？

あの

打ち込みでは分数は分からないと思うので書きました。分母の2nがつくのは累乗ではないです。

tkhsre

計算しても0になりませんでした。どこが違いますかね？

あの

－aを2n乗ということは、2n回かけているので偶数回かけているということになります。－を偶数回かけると＋になることから、この－(－a^2x)は、－a^2xとなります。

tkhsre

なるほど。
そう求まりますし、自分はそもそも式自体間違ってたかもしれません。
(a^2n-(-a)^2n)を(a^2n-（-(-a)^2n))という、マイナスが更に外に付いてました。
計算そのものは分かりました。
こういう関数を偶関数奇関数と言うよのでしたっけ？
関数がxの累乗で表される場合、指数の部分が偶数だと偶数の項だけ取り出して積分し、奇数の場合は全て＝0になると思っていれば計算に支障出ませんかね？

あの

遅くなってすみません。
偶関数と奇関数についてはtkhsreさんの説明であっています。

tkhsre

分かりました！