この問題の子の解き方でどうしてもうひとつの解があると分かるのか教えてほしいです。解が2つしかない場合は三次方程式ではないんですか？
✨ ベストアンサー ✨
これは「共役な複素数」といって決まりがあります
a+biが解なら必ずa-biも解になっている
ということを使います。
なので
-1+2iが解ならば (a=-1 , b=2)
-1-2iを解にもっているということなのです
3次方程式であること → 解が3個ある
その解は - 1 + 2i と - 1 - 2i と、あとひとつあるはずなので、 それをpとします
そして、x^3の係数が2であること
これらを考えると
与えられた式を因数分解したとすると
2(x^2 + 2x + 5 )(x - p ) = 0
となっているはずと予測するイメージです
他の方が書かれてる通り、共役複素数の解をつことを使うのですが、参考になるのがありましたので見てみてください。
https://www.youtube.com/watch?v=cmHue2ymSHU
まず、前提として、、、
「代数学の基本定理」というのがあり、こちらは、「複素数係数の n 次方程式は，複素数の範囲で（重複度も含めて）n 個の解を持つ。」というものである。
※「重複度も含めて」とは、重解は2個、3重解は3個、、、というようにカウントするという意味。
(ここからはイメージで進めさせてもらいます)
つまり、すべての3次方程式はa(x-α)(x-β)(x-γ)という形になる。
ここで、例えば、(x-α)(x-β)を抽出してみると、これはxについての2次方程式である。
2次方程式には解の公式があり、その分子に±√Dというのが登場する。
で、Dが負の時、+√Dパターンと、-√Dパターンの解が存在する。
よって、a、bともに実数(=3次方程式が実数係数でできている)なら、(b²+√D)/2aと、(b²-√D)/2aは共役な複素数である。
したがって、虚数解のうち、片方の解(今回は-1+2i)がわかればもう片方の解(-1-2i)もわかる。
で、今回使った定理はとても重要なので、まとめると、
「実数係数のn次方程式において、その方程式の解として虚数解を持つ時、その共役な複素数も解である。」
厳密な証明はこちらをご参考ください。https://manabitimes.jp/math/671
ありがとうごさいます！！それとx-pがどうしてあるのか教えて欲しいです！
「代数学の基本定理」にあるように、3次方程式には(重解は2個とカウントして)3個の解が必ず存在するため、(x-p)をつけないと解が2個になってしまう。
あと、(x-p)をつけないと、2次方程式になってしまいますよ。
ありがとうございます！！！理解できました！！
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ありがとうございます！そこは分かったんですけど、x-pはなんであるのかおしえてほしいです！！