Question

みむ

ｘの方程式(m＋１)ｘ²＋２(m－1)ｘ＋２m－5＝０の実数解の個数を求めよ。

なぜ
場合わけで
m＝1のときは考えないのですか？

(2) x の方程式 (m+1)x²+2(m-1)x+2m-5=0の実数解の個数を求めよ。
1) この2次方程式の判別式をDとすると
D={-(k+1)}²-4・1・1=k+2k-3
=(k+3)(k-1)
2次方程式が異なる2つの実数解をもつための必要十分条件は
D>0である。
ゆえに (k+3)(k-1)>0
よって
k<−3, 1<k
(2) (+1)x²+2(m-1)x+2m-5=0...... ①とする。
[1] m+1=0 すなわち m=-1のとき
①は -4x-7=0
これを解いて
よって, 実数解は1個。
[2] m+10 すなわち m≠-1のとき
①は2次方程式で, 判別式をDとすると
D
x==
7
4
2=(m-1)-(m+1)(2m-5)=-(m²-m-6)
=-(m+2)(m-3)
D0 となるのは, (m+2)(m-3)<0のときである。
これを解いて
-2<m<3
m≠-1であるから
このとき実数解は2個。
D = 0 となるのは, (m+2)(m-3)=0のときである。
これを解いて
D<0 となるのは, (m+2)(m-3)>0のときである。
これを解いて
m<-2, 3<m
このとき実数解は0個。
以上により
-2<m<-1, -1<m<3
m=-2,3 このとき, 実数解は1個。
-2<m<-1,-1<m<3のとき 2個
m=-2,-1,3のとき 1個
m<-2,3<mのとき 0個
A
2次方程式とは書かれ
ていないから,m+1=0
(1次方程式) の場合を見
落とさないように。
←単に-2<m<3だけ
では誤り! m≠-1
であることを忘れないよ
うに。
←この範囲に m=-1は
含まれていない。
数]

Answer 1

✨ ベストアンサー ✨

しし

xy平面上において
y=(m＋１)ｘ²＋２(m－1)ｘ＋２m－5 ⋯①
のグラフを考えてみます。
このとき
ｘの方程式(m＋１)ｘ²＋２(m－1)ｘ＋２m－5＝０
の解は、①のグラフと直線y=0(x軸)との交点の座標を表します。
では、①のグラフはどのような形でしょうか。
①はｘ²の項があるため、一見二次関数(放物線)のように思われますが、m+1=0の時、つまり、ｘ²の項の係数が0の時だけは直線を表します。
つまり回答の場合分けは、①が直線の時と放物線の時の2パターンを場合分けしている訳です。
m=1の時は当然、放物線のパターンの方に含まれています。