Question

jpgamw

(2)の始めでなぜどちらとも0以上だと分かり、相加相乗平均が出てくるのですか？
また、下から2行目でt=2になるのはx=0だとなぜ分かりますか？
よろしくお願いします🙇

研究例題 57 指数関数を含む関数の最大・最小
y=2(4x+4¯*)-4(2* + 2 ) + 12 について,次の問いに答えよ。
□(1) t=2*+2-x とおくとき,yをtの式で表せ。
](2) y の最小値を求めよ。 また, そのときのxの値を求めよ。
考え方 (1)a=2*,b=2x とするとき, d'+b²=(a+b)²-2ab であることを利用する。
(2)
2* > 0, 2x>0 より 相加平均と相乗平均の関係を利用して, tの値の範囲
を求める。
解
(1) 4x+4x=(2x)+(2-x)2=(2x+2-x)2-2・2*•2x=t2-2
よって,
y=2(t2-2)-4t+12
すなわち,
y=2t2-4t+8
(2) 202-x>0 であるから, 相加平均と相乗平
均の関係より,
t=2x+2x≧2√2x2x=2
(等号が成り立つのはx=0のとき)
このとき
y=2(t-1)2+6
t≧2 であるから, t=2のとき、最小値8をと
る。
t=2 となるのは, x=0のときであるから,
x=0のとき、最小値8
iyay=2t2-4t+8
6
O 12
t

Answer 1

✨ ベストアンサー ✨

希

指数関数のグラフから2^xと2^(-x)は正であることが分かります。
yをtの関数で置き換えをしているので、定義域が変化することがあります。この定義域を求めるために相加相乗平均を用います。(正直、ここで相加相乗平均を初見で思いつくことはかなり困難です。この、t=2^x+2^(-x)の置き換えはよく出てくるので、相加相乗平均を用いることを今後意識するしかないです)
t=2のときのx=0は相加相乗平均の等号成立条件で求めることができます。

jpgamw

回答ありがとうございます。
指数関数は確かにどの値も0以上になりますね！！
また文字を置き換えたら範囲を考える！と先生に言われていたので、それを相加相乗平均でやっていたのですね。
等号成立条件も思い出しました。
沢山の質問に答えていただきありがとうございました。
とても理解出来てスッキリしました☀️