Question

あや

オリスタ180(4)
なぜマーカー部分のようになるのか分かりません。
limn→∞Sn＝0になるのは(3)の結果から分かりますが、なぜlimn→∞Sn+1も0になるんですか？

180 自然数nに対して,Sn=S(10gx)" dx とする。
(1) S1 を求めよ。
(2) Sn+1をSとnの式で表せ。
(3) lim Sn を求めよ。
n→∞
(4) limnSn を求めよ。
n→∞

(2) Sn+1=
Ard
(d:
S₁ (log x)+¹dx=₁1. (log x)"+¹dx
1
nie
265
e
=[x(log x )*+¹] — S,₁ x· (n + 1)(log x)". dx
+1
1
1
=e−(n+1), (log x) "dx
=e-(n+1)Sn
e
e
X
200 to f
...... DS &
£₂0 Sn+1=e-(n+1)S,
(3) 1≦x≦e, logx1であるからすべての自
然数nに対して (10gx)" ≧0が成り立つ。
よって, すべての自然数nに対して,
.. 16 + ³x)
Sn= (logx)"dx≧0 が成り立つ。 nied
15 e-(n+1)Sn=Sn+1 ≥0
ゆえに S.よってOS.
n+1
=0であるから lim S = 0
n18
e
n→∞ n+1
lim
(4) ①から
nSn=e-Sn-Sn+1
(3) より lim S, = lim S,+1=0であるから
818
818
$8 + 50
e
n+1
7
lim nS = lim (e-Sn-Sn+1)=e-0-0=e
n
818
818

Answer 1

✨ ベストアンサー ✨

ミッキー様

マーカーの式の2行上の0≦Sn≦e/(n+1)の式ありますよね。
これでnをn+1に置き換えれば、
0≦S(n+1)≦e/(n+2)
右側の項でn→∞ではさみうちの原理からSn+1の極限も0です

あや

なるほど！！ありがとうございます！！